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double dans une courbe algébrique amène une réduction de deux unités 

 dans le nombre des périodes idfracycliques de sa quadratrice, parce que le 

 contour fermé de l'aire qui représentait l'une de celles qui subsistaient 

 auparavant devient alors évanouissant et que, en même temps, les contours 

 fermés des aires qui en représentaient deux autres se fondent en un seul 

 contour indécomposable. 



» Un rapprochement très-simple entre les deux méthodes permet de 

 caractériser exactement l'étendue des deux théorèmes de M. Ciebsch. On 

 voit, en effet, que la condition unique qui introduit un point double équi- 

 vaut, relativement à l'effet produit sur le nombre des périodes ultracycli- 

 ques, à deux conditions d'autre nature, choisies de façon à faire rentrer 

 deux périodes dans le système des autres. 



» Cela explique d abord comment ^ — ^ conditions seulement 



peuvent suffire à amener la suppression de {ni — i) [m — -x) périodes ultra- 

 cycliques, lorsque ces — ^_\^ -_j_ conditions expriment qu'il y a dans la 



courbe pareil nombre de points doubles. 



» Cela montre en même temps que la courbe qui est devenue quarrable 



par les fonctions elliptiques ou par les fonctions circulaires, en acquérant 



mim — 3) [m — \)[m — ■}.\ • ^ i ii j ■ j 



— ^ ou ^ points doubles, a perdu moins de paramètres 



libres qu'une autre qui serait devenue quarrable par les mêmes fonctions, 

 parce que ses périodes auraient été partiellement ramenées les unes aux 

 autres à l'aide de conditions convenables. 



» Les théorèmes de M. Ciebsch fournissent donc les solutions les plus 

 générales des deux problèmes des courbes quarrables par les fonctions 

 elliptiques ou par les fonctions circulaires, c'est-à-dire que, de toutes les 

 courbes de degré m dont la quadrature se ramène aux intégrales ellip- 

 tiques, celle qui contient le plus de paramètres libres est celle qui n'est 



, , , m (m — 3 ) . III 1 . 1 



assujettie qu a présenter — * points doubles; et que, de même, de 



toutes les courbes de degré m quarrables par les fonctions circulaires, 

 celle qui contient le plus de paramètres libres est celle qui n'est assujettie 



,, f . [ni — i) (/» — 2) . , , , 



qu a présenter > points doubles. 



» Remarque. — Ou vérifie aisément qu'il faut toujours plus de conditions 

 pour exprimer qu'une courbe de degré m a p points doubles partiellement 

 confondus et partiellement renvoyés à l'infini, que pour exprimer que 



