( aio ) 

 que l'on ait 



(4) (L + Qz- R7)(rt'£-f-p'j + (M + Ux ~ Vz){b'z+q') = o, 



a' , h' , p\ q' étant les dérivées des fonctions rt, Z», p, q par rapport à a. 



» La condition précédente est véritiée pour deux des points de chaque 

 génératrice; ces points forment sur la surface une courbe G. La tangente 

 en un point quelconque m de cette courbe étant comprise dans le plan 

 polaire de /«, on en conclut que ce plan est le plan osculateur en m, et par 

 suite la courbe C est une ligne asymptolique de la surface. 



» Réciproquement, toute courbe, dont les tangentes font partie d'un 

 complexe linéaire, admet le mode précédent de génération. Considérons, 

 en effet, le plan osculateur en un point quelconque A de la courbe; ce 

 plan coupe la courbe au moins en un second point B (je laisse de côté la 

 cubique gauche pour laquelle la propriété se vérifie aisément). Les droites 

 AB sont les génératrices d'une surface réglée. Si nous cherchons sur cette 

 surface la courbe que nous avons signalée plus haut, nous trouvons la 

 courbe proposée. Il résulte de cette réciproque que les solutions de l'équa- 

 tion 



(5) (L4-Qz-R7)c^.r4-(M4-Ra?-P5)fl'7+ (N + Pr-Q.ît') dz = o 



sont données par les équations (i) et (4), (i, b, p, q étant des fonctions 

 de a qui vérifient la condition (2). 



» Une surface réglée du troisième ordre possède une droite double et 

 une droite singulière. Ses génératrices appartiennent à tous les complexes 

 en nombre infini dans lesquels ces droites sont conjuguées. A chacun de 

 ces complexes correspond une courbe sur la surface. On obtient ainsi, par 

 des considérations géométriques, les lignes asymptotiques de la surface, 

 déterminées analytiquement par Clebsch {Journal deCrelle, t. LXVII). On 

 reconnaît sans peine que ces courbes rentrent dans la famille des courbes 

 unicursales du quatrième ordre étudiées par M. Appell {Comptes rendus, 

 18 décembre 1876). Les deux points caractéristiques de chacune de ces 

 courbes sont sur la droite double. Toute surface réglée du troisième ordre 

 est unicursale; on peut la définir par les équations 



/r.N A,X -l-B, A,). H- B, A3). -4- B3 



(6) •^=-lT^17' J-^^T.-. - 



AÀ + B -^ AX -1- B AX -H B 



ou 



A. ^= a p.- -i- b p. -h c , B = d[j.-he, A, = a,iJ.' 



). et p. sont deux paramètres arbitraires. 



