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de l'organisation, de*la vie et du classement des plantes au niveau de l'état 

 actuel de la Science, tel qu'il résulte des nombreux travaux qui ont été 

 publiés jusqu'au moment présent. » 



ANALYSE. — Sur les invariants fondamentaux de la forme binaire 

 du huitième degré ; par M. Sylvester. 



« On sait que le nombre des invariants linéairement indépendants de 

 l'ordre /, appartenant à une forme binaire du degré /, est égal à la diffé- 

 rence de deux nombres dont l'un, le plus grand, est le nombre de manières 



de représenter - comme la somme de/ nombres (avec des répétitions à 



volonté) choisis entre les nombres o, 1,2,..., /, et l'autre est le nombre 



de manières de former i selon la même loi. 



)) Ainsi le nombre d'invariants de l'ordre n, appartenant à la forme 

 binaire du degré 8, est la différence entre deux dénumérants, l'un. du sys- 

 tème 



X -\- y -\- z + t + n + V + tv + p + 7 = n\ 

 l'autre du système 



X + y-\- Z+ t -\- H -h i> -+- (V -+- p ~\- (7= 71. 



» On comprendra que le dénumérant d'une équation ou d'un système 

 d'équations simultanées en nombres entiers veut dire le nombre de solu- 

 tions que cette équation ou ce système admet en nombres entiers. 



» Or j'ai démontré ailleurs que le dénumérant d'un système quelconque 

 d'équations simultanées peut toujoxu's s'exprimer au moyen de dénumé- 

 rants simples, c'est-à-dire appartenant chacun à une seule équation, et 

 l'on trouvera sans difficulté que la différence entre les deux dénumérants 

 dont il est ici question sera le coefficient de i" dans la fonction génératrice 



» Ce résultat est parfaitement d'accord avec l'expression donnée par 

 M. Cayley dans son Second Memoir on Quantics, c'est-à-dire 



(l — .r) (l + ar — .r' — x^ -i- x'^ -h x^ -h .r» + .r' -f- x" — x" — x'^ -h x'^ + x'«) 

 ' {i — x'Y { l ~ x'V i l — X*] I l — X'] l l — x' \ ' 



