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 quation aux dérivées partielles de la chaleur, qui sont de la forme 



où N est une fonction toujours la même, mais où les fonctions/, /,,/2. dé- 

 pendant des trois paramètres p, p,, p.., contiennent des constantes arbi- 

 traires et sont, par conséquent, en nombre illimité. Je me propose au- 

 jourd'hui de déterminer tous les systèmes orthogonaux donnant lieu à la 

 même propriété. 



» On verra d'abord facilement que, pour tous ces systèmes, la dislance 

 de deux points infiniment voisins peut être ramenée à la forme 



( i) (fs'> = ^^ (s, S, tfp- -^ SS,f/o J -h SS, cfp'{\, 



où chacune des trois fonctions S, S,, Sj ne dépend pas de la variable de 

 même indice, mais où la fonction ]M est quelconque. 



» Dans un travail inséré, en 18G6, aux Annales de l'École Normale supé- 

 rieure, j'avais été conduit à rechercher les mêmes systèmes orthogonaux, en 

 me proposant la question suivante. Dans son beau Mémoire sur les sys- 

 tèmes orthogonaux isothermes, M. Bertrand avait reconnu que chacune 

 des surfaces qui les composent est susceptible d'être divisée en carrés infi- 

 niment petits par ses lignes de courbure. Il était donc intéressant de 

 rechercher tous les systèmes, plus généraux que les systèmes isothermes, 

 jouissant de cette unique propriété, et il est aisé de reconnaître que celte 

 élude équivalait à celle des systèmes orthogonaux pour lesquels la dis- 

 tance de deux points infiniment voisins a la forme donnée par l'é- 

 quation (i). 



» I-a question que je m'étais ainsi proposée devait donner évidemment, 

 comme solution, tous les systèmes orthogonaux isothermes, et l'on sait 

 combien la recherche seule de ces derniers systèmes présente de difficultés. 

 Étant amené à l'examiner par l'étude du problème de Physique mathéma- 

 tique que j'ai énoncé plus haut, j'ai cru qu'il serait utile d'en reprendre 

 d'une manière détaillée la solution, d'autant plus que j'avais négligé d'exa- 

 miner certaines hypothèses, et en particulier îles systèmes orthogonaux 

 imaginaires n'offrant aucun intérêt géométrique, mais pouvant, dans le pro- 

 blème actuel, donner des solutions de l'équatiori de la chaleur. Sans rien 

 changer d'essentiel à la méthode que j'avais donnée, j'ai repris tous les 

 calculs et obtenu les résultais suivants : 



» Les seuls systèmes poiu" lesquels chaque surlace puisse être divisée en 



1:. K., 1877. i" Semeitte. (T.LXXXIV, N» 7.) -]o 



