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 d'un système triple orthogonal, ont chacune un plan de symétrie, tous 

 leurs plans de symétrie coïncident, à moins que certaines conditions, net- 

 tement indiquées par la démonstration, ne soient remplies. Plus générale- 

 ment, si des surfaces, formant une des familles d'un système triple ortho- 

 gonal, sont anallaguiatiques chacune par rapport à une sphère, toutes ces 

 sphères doivent coïncider. Ainsi, si l'une des familles du système est formée 

 de cyclides, toutes ces cyclides doivent avoir les mêmes sphères principales, 

 et il devient alors très-facile de former tous les systèmes orthogonaux dont 

 l'une des familles est composée de cycliiles. 



)i Ce |)remier théorème étant admis, il suffisait de considérer des familles 

 de surfaces du deuxième degré ayant les mêmes plans principaux, et ion 

 avait seulement à considérer l'équation 



X" r' z^ 



où A, B, C sont trois fonctions du paramètre, à déterminer par la condition 

 que la famille précédente fasse partie d'un système orthogonal. On est ainsi 

 conduit à l'unique relation différentielle 



(2) A^/A(B — C) + Br^B(C — A) + Cr/C'A — B) := o, 



qui doit avoir lieu entre les trois axes. Cette équation n'est pas exactement 

 intégrable, et jusqu'à présent on n'en coniiait qu'un nombre limité de 

 solutions. Or on peut en trouver l'intégrale la plus généiale, qui est donnée 

 par les fornuiles 



/ .> , « y 1 — ^' . , 1» I « — u : M <i.'i a — o I 

 ( -5 J A — ; 5 H =: - ^ ' , ( , = — ^'- ■- , 



ùîj. — ^ U 1^ — ^ /(œ — y 



où 'jj e^t une fonction quelconque du paramètre u et 9' la dérivée de ip. La 

 seule solution qui ne soit pas donnée par ces formules est celle qui conduit 

 au système ordinaire des surfaces homofocales. 



» Si l'on veut, par exemple, fpi'il \ ait cnlre les carrés des axes la 

 relation 



m A -f- /Hi +/;('. = (), 



on déterminera 9 par l'équation 



[Il — 'j)"'u"z,'' = cous t. 



» Je signalerai aussi, comme un résultat curieux, que les surfaces pour 

 lesquelles la différence des quatrièmes puissances des axes est conslaulc 

 lormenl une famille répondant à la (pieslion. 



