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» En général, toutes les fois qu'on établira, entre les trois axes, une 

 relation homogène quelconque, la détermination de (p se ramènera aux 

 quadratures. 



» Parmi ces systèmes formés de surfaces du deuxième degré, il en est qui 

 se présentent dans la solution de la question suivante : 



» On sait que l'un des systèmes donnés par M. Serret dans son beau 

 Mémoire sur les surfaces orthogonales se compose d'une famille de para- 

 boloïdes et de deux familles de surfaces du quatrième ordre qui jouissent 

 de cette propriété que la somme ou la différence des dislances d'un de leurs 

 points à deux droites fixes soit constante. Ces deux dernières familles pré- 

 sentent une propriété qu'on peut généraliser. On sait que, si l'on considère 

 les surfaces (2) lieux des points tels que la somme de leurs distances à 

 deux surfaces fixes soit constante et les surfaces [1') lieux des points tels 

 que la différence de leurs distances aux deux mêmes surfaces fixes soit 

 constante, on a toujours deux familles de surfaces se coupant à angle droit. 

 Il était naturel de se demander si l'on peut compléter ce système double 

 orthogonal par l'adjonction d'une troisième famille formée de sinfaces 

 orthogonales aux premières. On peut encore énoncer le problème comme 

 il suit : Peut-on trouver deux famUles de surfaces parallèles qui soient cou- 

 pées à angles droits par les surfaces d'une troisième famille? 



» Si l'on prend comme inconnue le paramètre u de cette troisième 

 famille, la solution analytique du problème conduit à deux équations aux 

 dérivées partielles du troisième ordre pour la fonction u. Quelques consi- 

 dérations géométriques donnent d'une manière très-simple la solution 

 commune de ces équations. 



» En effet, puisque les surfaces u doivent couper à angles droits les deux 

 séries de surfaces parallèles, les normales à ces surfaces parallèles doivent, 

 en chaque point, être tangentes à luie surface u. Or cela ne peut arriver 

 que si les surfaces u admettent ces normales pour génératrices rectilignes, 

 c'est-à-dire si elles sont doublement réglées. Il faut donc que les surfaces u 

 soient ou des plans ou des surfaces du deuxième degré. 



M La solution, pour le premier cas, est presque évidente. En effet, si, 

 dans un plan, on trace deux séries de courbes parallèles et que l'on fasse 

 rouler le plaii sur une surface développable, les deux familles de cotubes 

 parallèles engendreront des surfaces parallèles répondant au problème 

 posé. 



» Il restait donc à traiter le cas où les surfaces u sont du deuxième degré. 

 Comme elles font partie d'un système triple orthogonal, leurs plans princi- 

 paux cuuicident. Supposons d'abord qu'elles aient un centre. Ou trouvera 



