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 Or, si l'on pose 



(8) a-- = a + w,3 + w-y, j-= = a -+- w' /3 -f- wy, z- — ce -h ^ -^ y, 



(û désignant une racine cubique de l'unité, l'équation (7) prend la forme 



i' = (). -+- ccY -f- fs' 4- 7^ - 3 (X + a),S7, 



et l'enveloppe a pour équation 



_ 1 3 



' ail 2 



ce qui, en remplaçant /3 et -y par leurs valeurs tirées des équations (8), 

 donne un résultat élégant indiqué sans démonstration par M. Cayley 



s 3 



y/27i' — {JC- -\- m/- + w-S-)- ± (:t- -+- 0)^/- -h WZ' )' • 



» Théokème m. — Les enveloppes des surfaces représentées par réquation 



forment un système triple oriliocjonal toutes les fois que les fonctions X, Y, Z 

 satisjont aux équations qu'il est aisé d'intégrer 



i X'X"^2>t(X'-a)(X"- /;), 



(9) Y'Y" = 2A-(Y"-rt)(Y"-^.), 

 ( Z'Z"' = 2k(Z" - a){r - b), 



la fonction w(X) étant définie par l'équation 



(10) k7s'{l){\ - a){X - b) =.-- - ).77(X), 



et la constante a par la condition (5); A désigne une constante quelconque. 

 )) L'application la plus simple donne 



"=('-~)'"('-iT'('-7;r'-' 



On a ainsi une infinité de systèmes orthogonaux algébriques dans lesquels 

 les surfaces des trois familles sont représentées par une même équation. 



» Théorème IV. — On peut déterminer les lignes de courbure de toute sur- 

 face représentée par l'équation 



X + Y + Z = C, 



oh X, Y, Z satisfont aux équations (g). 



C.R., 18:7, iTiemtjirf. (1. LXXXIV, ^'' 9.) 5l 



