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GÉOMi^.TRiE. — Intégrales des courbes dont les développantes par le plan el les 

 développées par le plan sont égales entre elles. Noie de ISI. l'abbé Aocst, 

 présentée par M. Le Verrier. 



« i" Lancrct appelle développée par le plan d'une courbe l'arête de re- 

 broiissement de la surface enveloppe du plan normal à cette courbe, de 

 sorte que, réciproquement, cette dernière est la développante par le plan 

 de la promiére. Dans la question poste, il y a tiois espèces de courbes : les 

 courbes C, ; les courbes C, qui sont les développantes par le plan des 

 courbes C, ; les courbes C,, qui sont les développées par le plan des mêmes 

 courbes C,. La question consiste à déterminer les courbes C,, de telle sorte 

 que les courbes C et Cj soient égales entre elles. 



» Cette question, lorsque Ion fait usage des coordonnées cartésiennes, 

 dépend d'une équation différentielle du douzième ordre; au contraire, si 

 roii fait usage des coordonnées élémentaires, elle ne dépend que d'une 

 équation différentielle du deuxième. Cela résulte de ce que, dans ce der- 

 nier cas, elle se subdivise en trois autres |)Ius simples : la |)remière ilépen- 

 tlant de l'intégration d'une équation différentielle linéaire du quatrième 

 ordre; la deuxième dépendant do l'intégration d'une équation différentielle 

 linéaire du troisième ordre; la troisième conduisant à une triple quadra- 

 ture. Le point important à signaler est que les deux équations différen- 

 tielles, l'une du quatrième et l'autre du troisième ordre, se ramènent à 

 l'intégration d'une seule et même équation différentielle du deuxième ordre. 



» 2° Soient cIg, dz, rfw l'arc élémentaire, l'angle de contingence et l'angle 

 de torsion de la courbe C ; soient t{/ le rapport de de à dw, exprimé en fonc- 

 tion de (ù, dont la différentielle est doi; p e\. r les rayons de courbure et de 

 torsion; nous représentons par les mêmes lettres, affectées des indices t 

 et 2, les éléments de même nom des courbes C, et Co. 



» La nature de la question laisse ij; indéterminé; or on a les relations 



(.) ) ' ' ''"'■ 



( -p^=-f^.+ ,|^(:^)' 



donc, si l'on suppose p^ et p égaux entre eux, on tombe sur l'équation dif- 

 férentielle linéaire du quatrième ordre, dans laquelle <!>' est la dérivée detj* 

 |)ar rapport à m : 



elle passe au troisième ordre si l'on y pose - '° égal à p.. 



5i.. 



