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 )) 3° L'intégration générale de l'équation (2) n'est pas possible, mais 

 on peut en obtenir une intégrale première; en effet, si l'on multiplie la 

 première des équations (i) par ar/p et la seconde par 2dp,, qu'on ajoute, 

 qu'on intègre et qu'on représente par c" la constante arbitraire, on trouve 

 l'équation 



dp'' /iPp\- I /dp d'p 



^^' ^ ' du' V'/mV V \'''-> ' ''<■' 



qui est du troisième ordre eu p et qui devient du deuxième en p.. 



» 4° Lorsque le rapport i|i est donné en fonction de ^j., cette dernière 

 équation est intégrable, et le problème proposé ne dépend que de quadra- 

 tures. En effet, l'équation (3) peut s'écrire sous la forme suivante : 



(4) ^dij.= 



\^^'-^'-7è 



de sorte que, si l'on pose t^ =f'(^ij.), on obtient l'intégrale 



(5) /(f^) = \/--p-=-£-' 



on a donc, en posant, pour abréger, D]'l = \c- — p.- — /(p.) , les équations 



desquelles on déduit l'équalion suivante : 



Les équations (6) et (7) sont les équations élémentaires de la courbe C. 



» On déduit sans difficulté, par suite des équations (i) et des relations 

 évidentes 



(8) di = ^/cj,, f/fj = (U,, de, :::= do)-,, du, --^ (le.,, 



les équations élémentaires des courbes C, et Cj. 



» Lorsque le rapport i|; n'est pas donné en fonction de ^., il faut intégrer 

 l'équation (3) ou l'équation (4), ce qui ne peut se faire que pour des valeurs 

 particulières de ce rapport, considéré comme fonction de u. 



» Ce que nous venons de dire se rapporte à la première des trois ques- 

 tions partielles qu'il faut traiter pour résoudre le problème posé, laquelle 

 consiste à déterminer les trois équations naturelles de la courbe C. 



