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» 5" La deuxième question partielle consiste à déterminer le trièdre des 

 axes mobiles d'une des trois courbes C, C,, Cj; or nous allons montrer 

 que celte question n'est pas distincte de celle que nous venons de traiter, 

 pourvu que l'on donne à la constante C' du calcul précédent la valeur 

 pai^ticulière i . 



» Considérons, en effet, la courbe C, ; en cbaque point de cette courbe, 

 la tangente r,, la normale principale p,, la binormale y, forment un triedre 

 trirectangle, et la direction de chacune des arêtes ne dépend que du rap- 

 port -' : or, si l'on représente par X-,, X,,,, Xp^ les cosinus des angles que 

 -,, V,, js, font avec l'axe des x, on a les quatre équations 



<^/X^ = f/ojXp^, 



^X,, =-r/£Xp,, 



^•^^ ' dX, = - r/coX- - diX., , 



I =XP-f-X.^ + X 



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» Or, suivant que l'on élimine X.,_, Xp^ entre les trois premières équa- 

 tions, ou bien entre la première et les deux dernières, on obtient les deux 

 équations différentielles suivantes : 



» La comparaison des équations (2) et (2)' et des équations (3) et (3)' 

 établit le théorème que nous venons d'énoncer, et elle montre que, lorsque 

 l'on aura obtenu p, en fonction de w et de trois constantes arbitraires, il 

 suffira de faire égale à l'unité la constante c" et de donner d'autres valeurs 

 générales aux deux autres constantes pour avoir l'expression de X^, en 

 fonction deo). Les arêtes du trièdre mobile de la courbe C,, et par suite 

 des trièdres mobiles des courbes C et Cj, font donc des angles avec les trois 

 axes fixes, dont les cosinus sont connus en fonction de w. 



» 6° La troisième question partielle consiste à déterminer les coordon- 

 nées de chacune dt's courbes C, C,, Cj ; or cette question connue ne dé- 

 pend que de trois quadratures. En effet, en représentant par x,, 7,, r, les 

 coordonnées d'un point quelcoiicjuc do la courbe t',, on a les trois équa- 

 tions contenues dans le type suivant, «, étant une constante arbitraire : 



(10) X, - «, =/X,,./a, (3) 



qui donnent les coordonnées du point de la courbe C,. On voit d'ailleurs 



