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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les lignes asymploliques d'une surface 

 du quatrième degré. Note de M. E. Rocchié. 



« La surface dont je veux parler est celle de l'arrière-voussure Saint- 

 Antoine. 



» Que l'on considère une ellipse dont un axe OC est vertical, et un rec- 

 tangle horizontal dont les côfés opposés MN, l'Q ont respectivement pour 

 milieux les extrémités B et B' de l'axe horizontal de l'ellipse. La surface 

 de l'arrière-voussure est engendrée par une ellipse variable dont le plan 

 reste normal à la droite BB' et dont les sommets sont les points où ce plan 

 rencontre l'ellipse EOC et les côtés opposés MQ, NP du rectangle. Elle a 



pour équation 



x' y= z' x= ) ' 



quand on prend pour axes de coordonnées les deux axes de l'ellipse et la 

 perpendiculaire menée au plan de celte courbe par son centre. 



» Les quatre côtés du rectangle appartiennent à la surface qui se com- 

 pose d'une nappe fermée et de quatre nappes indéfinies; la première nappe 

 se projette horizontalement à l'intérieur du rectangle, et les antres se pro- 

 jettent sur les parties du plan horizontal qui sont comprises dans les angles 

 formés par les prolongements des côtés de ce quadrilatère. 



» Enfin (et c'est là un rapprochement intéressant qui, je crois, n'a pas 

 été remarqué), lorsqu'on attribue aux quantités a- et b- les valeurs 



c- 



cos'9 sin'9 



la surface devient le lieu des points dont la somme des distances, à deux 

 droites qui se coupent sous l'angle 2 0, est constante. 



» Les lignes asymptotiques de la surface (i) s'expriment d'une manière 

 élégante au moyen des fondions elliptiques. 



» Désignons, suivant l'usage, par /•, s, t les dérivées partielles du second 

 ordre de z par rapport à x et à /; en calculant ces dérivées d'après l'équa- 

 tion de la surface et introduisant leurs valeurs dans la relation 



rdx- -+- 2j clxdj 4- td)~- = o, 



on obtient, pour l'équation différentielle des lignes asymptotiques, 



(y' — Zi-) c/j;' ixyttxdy {■f'' — <i'')ilj^ 



