( 435 ) 

 On peut remplacer cette équation par l'une des suivantes : 



(adr br/r \^ xy -\- ab d.r dy 



x^ — rt' "^ r'— *'/ ~ ^ «6 .^"^^ 7' — 6' * 



f ndr hdy y _ 



\.r' — rt" ~ _)2 — ^V ~ 



.rr — «6 dx dr 



2 



û6 .r' — a' j ' — i' 



d'où l'on déduit, en divisant membre à membre et extrayant de part et 

 d'autre la racine carrée, 



adx bdy 



(2) ^'-"' •>-'-^'^±> A'^" 



* «r/.r ir/)' y ry — a 



^ab 



V 



Posons actuellement 



a d.r bdy d(f adx bdy d-^ 



.r' — a' y' — b' siny x' — a' y'' — 6' sin\J< 



Nous aurons, en intégrant, 



(3) / (■r-r,)(r- é)_ „? / (.r-a )(j^+6) 



et, par suite, 



,0 ,0) 2(xy -h ob) . , li .it 2'jv — ab) 



tang' ° + cot' ° = -^= ^ -^ ' — > tang»-î- + cot-" — •" ' 



d'où, en divisant membre à membre, 



xy -\- nb sin^\I/(i — -îsin'i)<) 

 xy — ab sin'ç(i — ysiii^ij/) 



» L'équation (3) devient ainsi 



da dil 



^ — ±. ^ — = O. 



y'i— jSin'ç v'i — ^sin=^{; 



C'est l'équation d'Euler; on en conclut immédiatement que, si l'on pose 



9 = am(« 4- f ), ^ = ain{u — i') (moJ. A = s/i), 



les lignes asymptotiques sont 



u = const et v = const. 



M Revenons maintenant aux relations (3). En les nuiltipliant et les divi- 

 sant tour à tour membre à membre et résolvant p;ir rapport à a' et à^' les 



