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» Théorème. — Les surfaces d'un implexe [6, o ) touchent tme surface algé- 

 brique (S) (le degré m, de classe ?i et de rang r {classe des sections planes), sui- 

 vant une courbe d'un degré égal à rO -+- mtf. 



» Les plans tangents à (S), le long de celte dernière courbe, enveloppent une 

 développable de classe nO -h np. 



)) Pour démontrer la première partie de ce théorème, cherchons le 

 nombre des points d'intersection d'un plan (P) quelconque, avec la courbe 

 heu des points de contact. Imaginons, à cet effet, dans le plan (P), deux 

 faisceaux de droites Ox, Oj- issues d'un même point fixe O, pris arbitrai- 

 rement, et considérons comme correspondantes deux droites Ox, Oj qui 

 aboutissent respectivement aux points de contact d'un même plan, avec la 

 surface (S) et avec une des surfaces de l'implexe (5, ç). Chaque droite Ox 

 rencontre (S) en m points a, et (T) désignant le plan tangent à (S) en l'un 

 de ces points, il existe ç) surfaces de l'implexe tangentes à (T), en des 

 points b de l'intersection de ce dernier plan avec (P). On obtient ainsi 

 mip points b qui, joints au point O, donnent m(p droites O^' : d'où m^ 

 droites Oj~ correspondant à chaque droite Ox. Prenons inversement luic 

 droite Oj" quelconque : l'enveloppe des plans tangents aux surfaces de l'im- 

 plexe aux divers points de Oj est une surface de classe -h f (admettant 

 la droite Oj comme tangente multiple d'ordre f). Cette sin-face, en vertu 

 d'un théorème connu, a r{Q -h (p) plans tangents communs avec la déve- 

 loppable circonscrite à (S) le long de la courbe d'intersection de (S) 

 avec (P), développable qui est évidemment de classe /'. De là résultent 

 r{0 -+■ ç) points a, qui joints à O donnent r{0 -h ç) droites Ox. Par suite, 

 /•(5 + 'y) droites Oj: correspondent à chaque droite Oj-. 



» En vertu du principe de correspondance, il existe donc iiicp ■+• r[$ -f- 9) 

 coïncidences d'une droite Ox avec une droite Oj correspondante. Cha- 

 cune de ces coïncidences répond à la coïncidence d'un point a avec un 

 point b, et fournit par conséquent un des points cherchés, à moins que le 

 plan (T) relatif à ces deux points ne passe par O. 



» Pour évaluer ces coïncidences étrangères à la question, considérons 

 les r tangentes menées de O à la courbe C d'intersection de (S) avec (P). 

 Soient O/ une de ces tangentes, et (L) le plan tangent en /à (S). Il existe 

 9 surfaces de l'implexe tangentes à (L) en un point de O/, ce qui produit 

 9 coïncidences d'une droite Ox avec une droite Oj, le long de chaque 

 droite 01. Soient en tout r<p coïncidences à déduire du nombre total. Cette 

 déduction faite, il reste mip -+- rO pour le degré de la courbe lieu des points de 



