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 la surface (S), en chacun desquels ct-lle surface esl touchée par une surface de 

 l'iniplexe (5, 9). 



Remarques. 



» I. La seconde partie du théorème, corrélative de la première, s'en 

 déduit immédialeiiient : elle peut aussi s'établir directement à l'aide d'tine 

 démonstration semblable à la précédente, et qui n'est autre d'ailleurs qu'une 

 transformaîion de cette dernière d'après le principe de dualité. 



» L'énoncé du théorème, et la démonstration que nous venons d'en 

 donner, supposent qu'd n'existe aucun lien entre les surfaces de l'implexe et 

 la surface (S). On reconnaît néanmoins sans peine que l'on pourrait, par 

 la même méihode, évaluer la duninution à faire subir aux deux nombres 

 rQ + uitp et fi9 -+- rçj, dans le cas où les surfaces de l'implexe et la sur- 

 face (S) ont en commun un ou plusieurs points (plans tangents), simples 

 ou singuliers, une ou plusieurs courbes (développables circonscrites), 

 simples ou singulières. La question se trouve ilu moins ramenée à la 

 rechenhe de l'abaissement produit dans le degré de la courbe d'intersec- 

 tion de deux surfaces, ou dans la classe de leur développab^e circonscrite, 

 par l'existence d'une singularité comnuuie à ces deux surfaces. 



» II. Le théorème qui fait l'objet de cette Note peut s'énoncer sous 

 une autre forme, analogue à l'énoncé que M. Halphen a donné du théorème 

 correspondant de Géométrie plane ('). 



» En effef, nous avons établi, au début de ces recherches (-), que toute 

 équation aux dérivées partielles du premier ordre algébrique, à deux 

 variables indépendantes, définit un implexe {Q, y). Par suite, on peut dire 

 que : 



» Le lieu des points d'une surface de degré m, de dusse n et de rang r, end 

 satisfont à une condition exprimée par une écpialion aux dérivées partielles du 

 premier ordre algébrique, esl une courbe d'un de(jré égal à rô -|- mcp, les nom- 

 br-es 6 et ^ dépendant uniquement de l'équation aux dérivées partielles. Les plans 

 tangents le long de cette courbe enveloppent une développable de classe Jid -h r<p. 



» IIL Parmi les conséquences nombreuses et intéressantes de ce théo- 

 rème, envisagé sous sa première forme, nous signalerons la suivante, rela- 

 tive aux coiigruences de droites : 



» Le lieu des points de contact des droites d'une congruerrce d'ordre et de 



(') Comptes rendus, t. LXXXIII, ji. ijoS. 

 [-] Comptes rcniliis, t. LXXIX, p. 467. 



