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tiples d'un certain diviseur $ de ^ + ( - j 5 en désignant par la notation 



-] le reste de A ^ par/^; ce reste est égal à o, + 1 ou — i, suivant que 



A est un multiple, un résidu quadratique, ou un non-résidu quadratique 

 âe p; de plus, ia loi de répétition des nombres premiers, dans ces séries ré- 

 cturenles, indique que le terme U„ de rang 11 = p^6 est divisible parp'''^'. 

 » Soit maintenant m un nombre quelconque décomposé en ses facteurs 

 premiers, que l'on ne suppose pas diviseurs de Q, 



on a le théorème Jondamental donné par la congruence 



U^(,«, = o (raod.w); 



de plus, les termes U„ divisibles par m sont ceux dont le rang n est un mul- 

 tiple quelconque d'un certain diviseur p. de Y {m). Ce nombre p. est, par 

 extension, l'exposant auquel appartient a on b par rapport au module tn; 

 d'ailleurs, on retrouve le théorème de Fermât généralisé par Euler, en 

 supposant ^'= i. L'application du théorème fondamental conduit à la con- 

 naissance du procédé que nous avons indiqué pour la vérification des 

 nombres premiers. Ce procédé repose sur le théorème suivant, qui est, en 

 quelque sorte, l'inverse du précédent. Si U^^, est divisible par p sans qu'aucun 

 des diviseurs de p ±i f le soit, le nombre p est prenner. 



» Soient, pour plus de simplicité (bien que la méthode s'applique à tous 

 les nombres p, tels que la décomposition de p àz i en facteurs premiers 

 soit connue), P = i,Q = — i et p ^=^ ■2'"'*'' — i , Q — — i, l'exposant 4^ + 3 

 étant premier. On a évidemment 



U, :=U V V, =V -2^— iV- 



on forme les nombres 



V,,, V,,, Vs. . . V,,^, ou I, 3, 7, 47, 2207, ..., 



tels que chacun d'eux est égal au carré du précédent diminué de deux 

 imités, et l'on prend les résidus par rapport au module y?. Si le premier des 

 termes divisibles parp est égal à 47 + 2, le nombre/) est premier. On peut 

 encore énoncer ce résultat sous cette forme : 



)) Théorèmic. — Pour que le nombre p =z 2'"''^^ — i soit premier, il faut que 



