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 l'une des quatre conditions générales qui constituent le théorème, pour 

 introduire la condition d'un côté de grandeur constante, ce qui donne 

 lieu à quatre ordres différents de questions ; puis, dans chacun, on attri- 

 buera à tel ou tel côté la condition de grandeur constante, ce qui peut 

 donner lieu à quatre, huit ou douze théorèmes différents, au lieu d'un seul. 

 Cette variété de questions, et même les cas particuliers les plus simples qui 

 s'y rapportent, n'ont point encore été, je crois, le sujet de quelques 

 recherches. C'est qu'en général les questions de grandeur de segments 

 présentent des difficultés aux méthodes de l'Analyse. 



» Je classerai les théorèmes en trois paragraphes. Dans le premier, 

 les trois conditions primitives auxquelles doivent satisfaire trois élé- 

 ments des triangles, côtés ou sommets, se rapportent à trois courbes 

 générales. Dans le second, un sommet se trouvera au point où un de 

 ses côtés touche une courbe, ce qui implique deux conditions; et la 

 troisième se rapportera à une deuxième courbe. Dans le troisième para- 

 graphe, les triangles auront un sommet commun en un point fixe, et il 

 n'y aura plus qu'une condition générale relative à un sommet ou à un 

 côté. 



§ I. — Les trianglks satisfont a trois conditions relatives a trois courbes 

 d'ordre et de classe quelconques. 



» I. Les triangles aa,x ont leurs sommets a, a, sur deux courbes U,„, U^, , 

 leur côté ax tangent à une courbe U"', et leur côté aa, de longueur constante 

 (aa, •= X') : le lieu de leurs sommets x est d'ordre 8mm, n'. 



jc, n msWf 2 u 



u, Smm,?i' [§] (') .T 



i2mmfn. 



o II y a f^mm^n' solutions étrangères, dues au point oc situé à 

 l'infini. 



» II. Les triangles xaa, ont leurs sommets a, a, sur deux courbesJ]^, U„_, 

 leur côté ax tangent à une courbe U"', et leur côté a, x de longueur constante: 

 le lieu de leur sommet x est une courbe d'ordre 8mm, n'. 



X, n m 2 HZ, 2 II 



u, ■xm,[^n'm [XXF] (*) x 



12 mm, 71 



(') Quelques lemmes, ainsi désignés par les lettres a. S, ..., se trouveront plus loin. 

 (') L'accent prime indique les théorèmes relatifs à des couples de segments faisant une 



