( 532 ) 



ANALYSn;. — Sur tes invariants fondamentaux de la Jorme binaire 

 du huitième degré (* ) ; par M. Sylvester. 



« A cause d'une erreur qui s'est glissée clans le second Mémoire an 

 Quaîitics de M. Cayley, dans son explication des conséquences qui décou- 

 lent de la fonction génératrice pour les covariants appartenant aux formes 

 au-dessus du quatrième et les invariants au-dessus du sixième degré, on a 

 pensé (voir Théorie des formes binaires, de M. Faà de Bruno, p. i5o) que la 

 théorie elle-même est en défaut et que les équations linéaires qui conduisent 

 à cette fonction, après qu'un certain point est passé, cessent d'être indé- 

 pendantes. J'ai examiné cette question de près et j'arrive à la certitude du 

 contriiire. En effet, l'indépendance de ces équations est une conséquence 

 d'un théorème très-curieux que j'ai découvert, un théorème plutôt de po- 

 sition que d'arithmétique que voici. Prenons trois nombres quelconques 



/, j, w avec la seule condition que w ne soit pas plus grand que -• Formons 



toutes les combinaisons possibles avec les chiffres o, i , 2, ...,/, qui donnent 

 la somme w : que le nombre de ces partitions soit m et qu'elles soient nom- 

 mées P,, Pj, ..., P,„. 



» De même formons toutes les partitions semblables avec la somme w — r , 

 que leur nombre soit /j. et nommons-les II,, Ho, ..., U^^. 



» On doit observer que le nombre m ne peut jamais devenir plus petit 



que p., à cause de la condition que w n'est pas plus grand que -• 



1) Quand un II quelconque, disons II)., peut être déduit d'un P quel- 

 conque, disons P/, par moyen de diminuer un des chiffres qui y entrent 

 par l'unité, je nomme n> une dérivée de P; et dans le cas contraire une 

 non-dérivée. 



» Formons un rectangle de m sur u, et à la tête des colonnes écrivons les 

 sommes P et à côté de chaque ligne les sommes II. De cette manière on 

 peut dire que chaque place dans le rectangle aura une certaine longiliule 

 désignée par un Pet une latitude désignée par un H. Dans chaque place 

 dont la latitude est une dérivée de la longitude, écrivons un signe quel- 

 conque, par exemple une croix, et dans toutes les autres places insérons des 

 zéros. Par une diagonale d'une matrice carrée, comprenons une combi- 

 naison quelconque des positions occupées par ses éléments qui entrent dans 



ê 



(*) Comutes rendus, t, LXXXIV, p. 240; 5 février 1877. 



