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 la valeur du déterminant qui y appartient. Ces diagonales se diviseront, 

 selon la règle élémentaire pour le calcul des déterminants, en deux espèces 

 positives et négatives. De plus on [)eut sous-entendre par une diagonale 

 effective une diagonale dans laquelle il n'entre nul zéro. 



» Or, avec le rectangle dont j'ai parlé, formons toutes les matrices car- 

 rées co»ip/è/es possibles, c'est-à-dire des carrés de ij.- plans. Il peut arriver 

 que, pour un certain nombre d'entre elles, il n'y aura nulle diagonale 

 effective, mais on peut démontrer qu'il en existe toujours une au moins 

 qui possède une ou plusieurs diagonales. S'il n'y a qu'une seule diago- 

 nale effective, évidemment le déterminant ne peut pas s'évanouir ; mais 

 s'il y en a plusieurs, alors je dis que toutes ces diagonales effectives pour 

 un déterminant donné porteront le même signe, de sorte que, si l'on 

 donne des valeurs positives quelconques aux éléments désignés par des 

 croix, la somme des produits qui correspondent à ces diagonales ne peut pas 

 devenir égale à zéro. Cette proposition, fort remarquable, sufGt pour dé- 

 montrer la suffisance de la règle mise en doute par M. de Bruno. Pour 

 trouver le nombre total de covariants appartenant à une forme donnée du 

 degré /, d'un onlre donné / dans les coefficients, et d'un degré donné A 

 dans les variables, on n'aura qu'à prendre la différence de deux dénumé- 

 rants de deux systèmes de deux équations simultanées dans l'une des- 

 quelles les termes constants seront '^^ ^— et dans l'autre — —^ — '• Comme 



conséquence de ce théorème, il est facile de démontrer que le nombre to- 

 tal lies covariants de l'ordre/ n'est autre chose que le nombre de manières 



de former la somme - ou avec / des chiffres o, i, 2, 3, ..., /. 



2 2 -* 



)) Toutes ces conclusions se trouvent peut-être étendues à des s/stèmes 

 de formes binaires. 



)) Par exemple, si l'on considère le cas de deux formes binaires seule- 

 ment, disons des degrés / et i', et si, pour plus de simplicité, on traite le 

 problème du nombre total de covariants de l'ordre j dans ces coefficients 

 par rapport à une des deux formes, et y' par rapport à l'autre, ce nombre 

 sera le dénumérant d'un système ternaire d'équations sinudtanées en nom- 

 bres entiers, que voici : 



... ; ■ 'J+''j'-^ ' 

 (i) )■ -^- 2Z + it+...-hi — i-h r, -{- j.: -h...+ }- = ^- — » 



(2) x + ;■ -^ S H-...+ / =/, 



(3) ^ -Mr; -I- ...-+- T =/', 



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