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Ces fonctions soiil liées par la relation algébrique 

 et l'on a, entre leurs dérivées partielles, les relations 



( \ '"^ _ ''Q _ ^''P _ ^''^ _ ^^'^ _ p 



^^' In ~ 7h ~ Ti'ITh ~~ 'M' ~ \/f ~ ' 



et celles qu'on en déduit par permutation des lettres P, Q, R. Enfin l'ad- 

 dition des arguments se fait par la formule 



P(5 4- 0\ o ^- -y) =. V{0, 9) ?{û', f) + Q,5, 9) R(9', -/) ^ l\{6, 9) Q(5', 9'), 



et d'autres analogues pour Q et R. 



Soient x, j, z les coordonnées d'un point de l'espace; il existe une seule 

 quantité réelle p et une infinité de nombres 5 et ç différant les uns des 

 autres par des périodes conjuguées vérifiant les relations 



(2) .r = pP(5. ',). r=pQ{Ô,fj, z .: oW j>,<p). 



Si, dans ces formules, on suppose p constant, elles définissent les points de 

 la surface 



X'' -hj" + :.^ — '5xjz — p', 



et les lignes 6 = const., 9 = cousf. sont les lignes asymptotiques de cette 

 surface; en effet, on voit aisément, au moyen des relations (x),que le plan 

 osculateur à une de ces lignes est tangent à la surface. Supposons mainte- 

 nant les coordonnées rectangulaires, et considérons les trois familles de 

 surfaces obtenues, en égalant successivement, dans les formules (2), p, 6 et © 

 à des constantes; par un point de l'espace il passe une surface de chaque 

 famille, elles plans tangents en ce point à ces trois surfaces forment un 

 trièdre régulier dont les arêtes sont également inclinées sur la droite 

 jc ^ j = z. 



» On peut former une infinité de systèmes de surfaces jouissant de cette 

 propriété. Considérons à cet effet une fonction F, formée à l'aide des sym- 

 boles élémentaires, de la quantité a. -+- aj -h a'^ z; cette fonction pourra se 

 mettre sous la forme 



F(x+a7 + a-'2;, =J\,Jc,j,z)-hcif,{x,j;z)-ha'J,{x,j, z), 



