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 obtenues en remplaçant dans/,./,,/,, x, y, z par 9,, 9,, 93, y satisfont 

 également. 



» Les propriétés des fonctions P, Q, R permettent d'imaginer un calcnl 

 de quantités complexes dans l'espace, dans lequel le produit des deux 

 quantités représentées par les points 



(M,) X, = p,Pv5,, ?.)» ;■. = piQ(^n?,), r-, = p,Ri;5,,9,) 



serait la quantité représentée par le point ayant pour coordonnées 



Z = /5p,R(5 + 5,, -f + <p,). >) 



GÉOMÉTRIE. — Sur la courbure des surfaces. 

 Note de M. P. Serret. 



« I . Euler a donné le premier l'expression simple 



du rayon do courbure d'une ligne plane en fonction des distances p et w, 

 d'une origine fixe quelconque, au point qui décrit la courbe et à la tan- 

 gente en ce point. On peut remarquer que ces variables, p et ît, forment 

 un système de coordonnées mixtes que l'on pourrait dire mêlées, en ce 

 qu'elles participent à la fois des coordonnées ponctuelles et des coor- 

 données tangentielles; tout ce qui se rapporte à la courbure devra appa- 

 raître plus aisément dans les formules où on les aura fait intervenir que 

 dans toutes autres équivalentes. Toutefois, c'est surtout dans la géométrie 

 des surfaces que les avantages spéciaux et le rôle do ces coordonnées se 

 précisent le mieux, en permettant de substituer des formules simples aux 

 formules compliquées que l'on sait, et de réduire, dans certains cas, à 

 des calculs élémentaires, des intégrations aux dérivées partielles, toujours 

 difficiles, sinon irréalisables. 



» On se propose, en effet, de montrer, dans cette Note, que la for- 

 mule (1) n'est pas limitée aux seules courbes planes, et qu'elle se peut 

 étendre non-seulement aux courbes ganclics, extension facile et qui paraît 

 offrir peu d'intérêt, mais surtout aux surfaces : de telle sorte que le rapport 

 différentiel pdp'.cfis calculé, en chaque point d'une surface, pour un déplace- 

 ment [dp, dvs) compte sur l'une ou l'autre des lignes de courbure issues de ce 



