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 point, mesure toujours le rayon de première ou de seconde courbure, c'est-à-dire 

 les éléments mêmes de la courbure de la surface au point considéré. 



» Cette proposition peut comporter d'ailleurs des conséquences de plus 

 d'une sorte. Celles qui se présentent le plus immédiatement permettent 

 d'établir, par la seule analyse et avec une extrême facilité, les trois théo- 

 rèmes fondamentaux de Meunier et de Monge : i" sur la surface dont tous 

 les points sont des ombilics; 2° sur la surface dont l'une des courbures 

 est constante; 3° sur celle enfin dont les deux courbures sont l'une et 

 l'autre constantes. 



» Étudiées sous ce nouveau point de vue, ces propositions n'exigent 

 plus, en effet, ni considérations de géométrie (la notion des tangentes con- 

 juguées n'ayant pas même à y intervenir), ni aucun développement de 

 calcul. Il suffit de quelques intégrations élémentaires, et qu'ayant entrevu 

 la possibilité d'étendre la formule (i) aux rayons de courbure principaux 

 d'une surface, on ait reconnu, analytiquement, la légitimité de l'in- 

 duction. 



» 2. Pour obtenir cette vérification, soient p et t? les distances de l'ori- 

 gine au point (x, j-, z) qui décrit la surface et au plan tangent en ce point; 

 on aura d'abord 



p- = x'- -I- j- -t- s-, Z5 =■ {px + qj — ^)'.\/ p" -h (]- -h i . 

 De là, en recourant aux particularisations habituelles, 



(l) 0=p=z(j.^.S, 



et ayant égard en outre aux identités, 



pdx + qcl}- — ch — o, dp =^ rdx -\- sdj\, dq — sdx + tdy; 



on trouve, pour un déplacement tangenliel quelconque du point décri- 

 vant, 



/ X prfp xd.v-^-ydy 



^^ ' djs rxdx -\- tydy 



» Pour un déplacement dirigé suivant la ligne de première ou de 

 seconde courbure (dj- -~ o ou dx = 0), on aura donc simplement 



et le théorème énoncé est en évidence dans ces formules. 



