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 M 3° Pour que n cqualions linéaires et homogènes, à (n -f- /)) inconnues, se 

 réduisent à un nombre inférieur d'équations distinctes, il est nécessaire et suffi- 

 sant que tous les déterminants d'ordre n qu'on f eut faire avec les colonnes du 

 système soient nuls à la fois. 



» /i" Pour que les deux cqualions 



A = «0 a.'" -h a, x'"-' + ...-+- a„, — o, 

 B = !>a .x" + b, ce"- ' -V- ... -hb^-^o 



aient r racines communes, finies ou infinies, il est nécessaire et suffisant quil 

 existe deux imlynùmes U,,,. ,., V,,.,., de degrés respectivement égaux à leurs indices 

 ou l'un d'eux de degré irféiieur, dont les coefficients soient tels que l'équation 



AV,,., + BU,,., = o 

 se réduise à une identité. 



» 5° Pour que les deux équations A = o, B ~ o {/\°) aient r racines com- 

 munes, il est nécessaire et suffisant que, si l'on forme les équations 



Aa"-''=o, Aa"''^'=o, ..., Ax = o, A.r" =: o, 

 Ba'"-'' = o, Ba'"-''-' = 0, . . . , B:i: = o, Bx" = o, 



et qu'on y regarde les puissances de x comme des inconnues distinctes, leur sys- 

 tème se réduise à un autre renfermant une équation de moins. 



). 2. La méthode dont je me suis servi résulte de ce dernier théorème. 

 Je vais l'appUquer aux deux équations 



(1) OoX' -+- n, .X ^ + n-.x^ -h f/^a' -t- c7,a^ + a^x -f- r/c = o, 



{■i) b,, a:' + h,x^ + b, jc^ + />,, .z- + /; ., .r 4- b^ = o, 



pour exprimer qu'elles ont cjualre racines comnuines et former l'équation 

 qui les détermine. 



n Multiplions, d'après (5°), (t) par jr, x", (2) jiar a-, x, x\ ce qui 

 donne les cinq équations 



n^x^ + OiX" -h a., A ' + OjX^ -:- n^ x ' ^- «5 x- -i- a^x = o, 



bf, a' H- b, x" + b..x' + ^jX ' -t- ^,a' -i- b^x^ =0, 



i„.x° -f- b, x'^ -h /'2-ï ' -+- b:,.x-' -h /'.,.x- -(- biX = «1, 



bgX^ 4- b, .x' + b.,x^ + bjX- -f- b^x -f- b- .x" = 0, 



et cxjjrimons qu'elles se réduisent à quatre. Pour qu'il on soit ainsi, il est 



C. R., 1877, 1" Semestre. ( T. LXXXIV, N» 12.) 7^ 



