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 nécessaire et suffisant, d'après (3°), que tous les déterminants du cinquième 

 ordre qu'on peut faire avec les huit colonnes de ce système soient nuls à 

 la fois, ce qui donne un nombre de conditions égal à celui des combinai- 

 sons de huit objets 5 à 5 ou 56. S'il existe dans ce système de conditions 

 un déterminant du quatrième ordre qui ne puisse pas s'annuler, il suffira, 

 d'après (i°), d'égaler à zéro les quatre déterminants du cinquième ordre 

 qui le contiennent, et il n'y aura que quatre conditions distinctes; mais, 

 lorsque les indéterminées [a) et [b] peuvent recevoir telles valeurs qu'on 

 voudra ou qu'elles renferment toutes des paramètres variables, comme 

 chaque déterminant du quatrième ordre peut s'annuler à son tour, il faut 

 conserver les cinquante-six équations données par la méthode. 



)) Pour représenter cet ensemble de conditions, on écrit ordinairement 

 les huit colonnes de coefficients sur cinq lignes, à la manière des détermi- 

 nants. Or, si l'on compare le tableau ainsi formé à celui qui donne la ré- 

 sultante fondamentale ou de Sylvester, pour les équations (i), (a), on voit 

 qu'il se déduit de ce dernier en y supprimant les trois premières lignes 

 en a et les trois premières en b. On généralise sans peine cette démonstra- 

 tion, et l'on parvient ainsi à la règle suivante, qui résout complètement la 

 première partie du problème proposé : 



» Pour exprimer que deux équations algébriques de la Jorme (3°) ont 

 r racines communes, il suffit de supprimer dans la résultante fondamentale 

 les (r — i) premières lignes en a et les [r — \) premières en b. 



» Cherchons maintenant une équation qui donne sûrement les quatre 

 racines communes ou qui ne soit pas une identité. Formons les équations 

 qui, d'après (5"), serviraient à exprimer que ,(i) et (a) ont cinq racines 

 communes, c'est-à-dire 



«„ .x'' H- rt, X" + a., X ■' + «3 x'-^ -r rt.i X ■ + «5 X --!- rt,., x" = o, 



/?„ x'' M- /;>| j:^+ b.x' -(- b^x'^ h- b,,x'- -\- b^x = o, 



bu X' -h i, .X ■' + h. x'-' -\- bj X- -v b,x -\- b^ .r" = o. 



Les colonnes des coefficients de ce système donnent des déterminants du 

 troisième ordre, dont un au moins est différent de zéro; car, s'ils étaient 

 tous nuls, (i) et (2) auraient, d'après ce qui précède, cinq racines com- 

 munes. Soit a, ^2 «5 la première ligne de ce déterminant A différent de 

 zéro. Groupons les termes comme il suit : 



[cioX -\- a, )xM- {anX- + a^x -h a^)x' -h a,,x -+- a^x" = o, 



{b,)X -f- bf )x-' -h {b,x'^ -\- b-iX -f- bi)x''- -h b^x — o, 



bt, x^ + ( b^ X- + b.;, X -I - ^3 )x- + bi x 4- b._ x" = o ; 



