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ment, en décomposant ■ , ^ i< , en fractions simples, q\iej{x) doit satis- 

 faire à une équation différentielle de la forme 



c/y' r X' in e'(x) F'(x)l(lr Pj _ _ 



— "*" L" X X ~~ 0{x) "*' t'(.r) J rtS "^ .7X0(.r)F(:c] ~''' 



P désignant un polynôme entier en x d'un degré indépendant des nom- 

 bres 71 et rt. 



» 2. Sachant que le polynôme y (x) satisfait à cette équation, il sera 

 facile d'en trouver une autre solution; en le désignant par j,, on trouvera 



/■/ \ r &{x)x^"dj: 



ou, en vertu des relations ([) et (2), 



résultat entièrement semblable à celui obtenu par M. Heine et M. Chris- 

 toffej, relativement à l'équation qui définit les polynômes de Legendre. 

 » 3. Soit, pour considérer le cas le plus simple, 



" = <■ -'■■'""'XV 



(Ix 



■x'f 



u étant une fonction impaire de x, nous devrons distinguer deux cas : 



» En premier lieu, /{x), qui est une fonction paire de x, étant du 

 degré 2 7?z, supposons que f{x) soit du degré 2111 — 1 ; f{x) satisfait alors 

 à l'équation 



x[x- — i)j" + 2 [(rt — im)x'^ + 27?i]/' + im[2m — 2rt -+- i)xj = o, 



qui s'intègre facilement au moyen des séries hypergéométriques. En adop- 

 tant les notations de Gauss, on aura, à un facteur numérique près, 



f[x) = F(aj)(— Hi, a — m — \, { — 2m, x'-) 

 et 



„ jn'.'n-n jT (.r)(a -{- m -h i , tn + jr , 9. m -h | , .r"), 



» En second lieu, f{x) étant toujours du degré 2m, supposons que 

 f (x) soit du degré ( 2/72 + i) \ J\x) satisfait alors à l'équation 



x[x^ — i) )■" + 2 [(a — 2/7Z — i).-r- -h 2 711 -h \ ly 



H-- 2i7i{'im — 2n -1- '5)x)' = o; 



