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 A la normale en ce point, b ei c les cenlres de courbure principaux et B 

 et C les normales aux nappes (B) et (C) de la développée de (S). 



» Le paraboloïde des huit droites a pour plans directeurs : le plan (T), 

 tangent à (S) eu a, et un plan parallèle aux droites bs, es' axes de cour- 

 bure des lignes de courbure de (S) en a. Il contient B et C, sa trace sur 

 (T) est la droite ss'. 



') 3. Considérons le dièdre droit formé par les plans des sections prin- 

 cipales de (S). Déplaçons infiniment peu ce dièdre, A s'appuyant sur la 

 courbe quelconque (/) tracée sur (S) et les faces de ce dièdre restant des 

 plans de sections principales. Ce déplacement peut être obtenu par une 

 simple rotation. L'axe de rotation est la génératrice L du paraboloïde des 

 huit droites qui passent par le point l où ss' est rencontrée par la nor- 

 male al à (/). Nous disons alors que : 



» Le paraboloïde des huit droites est le lieu des axes autour desquels il faut 

 faire tourner les deux plans des sections principales d'une surface pour les 

 amener dans l'une quelconque des positions infiniment voisines qu'ils peuvent 

 occuper. 



» 4. Traçons à partir de n et normalement à al une courbe {t) c[ui coupe 

 sous un angle constant les lignes de courbure de (S). Faisons tourner 

 comme précédemment, autour de L, le dièdre des sections principales en 

 entraînant le plan (A, al). Ce plan restera alors normal à [t). Sa caractéris- 

 tique, axe de courbure de [t), est la projection de L. Cette projection passe 

 évidemment par l: ce point est alors le centre de courbure géodésique de 

 la courbe [t] ; donc : 



» La trace ss' du paraboloïde des huit droites sur le plan (T) est le lieu dis 

 centres de courbure géodésique des courbes issues de a et qui coupent sous des 

 angles constants les lignes de courbure de (S). 



» 5. En tournant autour de L, les plans des sections principales de (S) 

 ont pour caractéristiques les droits bq,cq', projections de L sur ces plans. 

 Comme ces plans restent tangents aux nappes (B) et (C), ces projections 

 sont les tangentes conjuguées des tangentes qui contiennent respectivement 

 les points de contact de ces plans avec (B) et (C). Ce'/ésultat peut s'énoncer 

 ainsi : 



» La normalie ù [S], dont la directrice est (/), touche (B) et (C), suivant des 

 courbes dont les tangentes en b et c ont pour directions conjuguées les projec' 

 lions bq, cq' de L. 



» 6. Si au point a la normale à la directrice de la normalie est parallèle 

 kss', alors les tangentes conjuguées des tangentes aux courbes de contact 



