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 de cette nornialie avec (B) et (C) sont perpendiculaires à A. Nous voyons 

 ainsi que : 



» J partir d'une normale quelconque A d'une surface, il existe toujours une 

 normalie qui louche les nappes de la développée de celte surface suivant des 

 courbes dont les tancjetiles ont pour directions conjuguées des perpendiculaires 

 à\. 



» 7. Si, à partir de la normale quelconque A, on a une normalie (A) qui 

 touche (B) et (C) suivant des courbes dont les tangentes elles-mêmes sont 

 constamment perpendiculaires aux génératrices de (A), c'est que les rayons 

 de courbure principaux de la sin-face sont fonctions l'un de l'autre. 

 Plaçons-nous dans cette hypothèse. Appelons {a) la directrice de cette nor- 

 malie (A). Menons la normale an à {a) et projetons n en p : la droite bp et 

 la perpendiculaire à (A) menée du point b dans le plan (A, C.) forment alors 

 un système de diamètres conjugués de l'indicatrice de (B). Les droites A 

 et bs forment aussi un système de diamètres conjugués. Supposons que 

 la normalie dont la directrice est (/) touche (B) suivant une courbe dont 

 la tangente soit bu: alors bu et bq sont des diamètres conjugués. 



» Nous avons alors trois systèmes de diamètres conjugués qui détermi- 

 nent sur as les six points u, a, p, q, s, et le point à l'infini qui sont en iu- 

 volution. Par suite, les points m, s\ n, Z, s, et le point à l'infini sur ii', 

 ainsi que les points ?f', s', p, q\ a, et le point à l'infini sur as' sont aussi 

 en involution. Mais nous avons deux systèmes de diamètres conjugués de 

 l'indicatrice de (C) an pointe qui rencontrent rtj' aux points a, s',p', et à 

 l'infini; donc cq', eu' sont des diamètres conjugués. Il résulte de là que la 

 normalie, dont (/) est la directrice, touche (C) suivant une courbe tangente 

 à eu'. Si maintenant nous prenons sur la surface une courbe (m) dont la 

 normale est bin, nous verrons, connue plus haut, que la normalie qui a 

 cette courbe pour directrice touche (B) et (C) suivant des courbes tan- 

 gentes à bq et cq'. Nous concluons de là que : 



» Lorsipi une surface a des rayons de courbure pi incipaux fonctions l'un de 

 l'autre, ses nornialies, qui touchent l'une des nappes de la développée de cette 

 surface suivant des courbes conjuguées, touchent aussi l'autre nappe suivant des 

 courbes conjuguées ['). 



» M. Ribaucour est arrivé analytiquemont à ce théorème {"). U a fait 

 remarquer que : 



(') On (lémoiilre <!c la niùiiic mauiorc le tlu'orciiie inverse. 

 (') Comptes rendus, 2- mai 1872. 



