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 rèmcs qui expriment la loi de Jacobi relative aux résidus cubiques, et ceux 

 que j'ai eu l'honneur de communiquer à l'Académie, et qui se rapportent 

 aux résidus de cinquièmes puissances et aux résidus de septièmes puis- 

 sances. Je partage en n classes les racines de la congruence 



xP-*^i (mod./J = «'^ + i), 



en attribuant à la classe zéro les résidus de puissances n*^""*, et à la classe (i) 

 les racines dont les indices divisés par n donnent un même reste i; puis je 

 démontre qu'au moyen des facteurs complexes de/?, formés suivant la mé- 

 thode de Cauchy et de Jacobi, au moyen des racines n''^"'" de l'unité, on 

 peut construire un monôme rationnel '}^[p) qui donne lieu à une loi de réci- 

 procité d'ordre w''"""", analogue à celle du troisième ordre, découverte par 

 Jacobi, et qui se réduit à cette dernière loi, quand on suppose « = 3. 



» Si l'on désigne par (fhip) 'e facteur complexe que Cauchy désigne par 

 R,_A, et que l'on peut calculer au moyen de la formule 



et simplement par 9 (|3) le facteur complexe R, ,, les valeurs du monôme 

 ^[p) relatives aux divers nombres premiers impairs sont : 



o •} i^\ ?(p) L + 3 V — 3 M 

 i°pour«= 3, 'ij[û)=^^r= ^ : 



' ^'^' tIp') L-3^-3m' 



2°Dour«= 5 i!,'û1 — -îMii^L. 



3opou...= ,, W=,-(^. 



4°pour«=ii, <]/ p)= , , , , ,\ . , — rT\'i 



5" pour» = i3, 4;((5) = , ,,3 '^/'!i?'!''.l 1 ,. \ 

 I ' T\i/ ?(p')=?lp')'<p(p') ?<(p') 



G'^pour/i^ 17, ^(fi) = 



fier 



?;?')* ?(p')'?(p')?;p" 



1 



» Si l'on joint au nombre/» un nombre premier de même forme (jr = «7' + i 

 et qu'on distribue en /i classes les racines de la congruence a''"' a^i (mod.*^), 

 en attribuant à une même classe (/) les racines dont les indices divisés 

 par n donnent le même reste /, la réciprocité d'ordre n'"'" entre les deux 

 nombres p et q sera exprimée par les deux théorèmes suivants : 



I) l . Si l'on désigne par ^ une racine primitive de laconcjmencex"^i (niod.fjf), 



C.R.,i877,i'f 5e«<:i(-e. (T. LXXXIV, N" IC.) '0° 



