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 et par ^{p) le monôme formé, ainsi que nous t'avons indiqué, au moyen des 

 facteurs complexes R, ^ de p, le nombre q est résidu ou non-résidu de puissance 

 f^ieme ^q,^^ /g modulc p, suivaut que '^{^) est résidu ou non-résidu de puissance 

 n""" pour le module p. 



» II. Si l'on désigne par t la base d'un système d'indices pour le nombre p, et 

 par t, une base semblable pour le module q, la classe du nombre q, relativement 

 au module p et à la base t, est la même que celle de ^{tf) relativement au mo- 

 dule q et à ta base t, . 



» On peut aussi considérer conjointement avec le nombre p un nombre 

 premier q = nq' — i , pourvu que l'on distribue en n classes les racines de 

 la congriience x^'^' b^ i (mod. q), représentées par les diverses puissances 

 d'une racine primitive r =J -+- g \fin, en groupant dans une même classe [i] 

 celles dont les indices divisés par n donnent le même reste /. Si l'on désigne 

 alors par /S celle de ces racines dont l'indice est q' , 4'(/3), ^(P') seront des 

 racines de la congruence j:'"*"' ^i (mod. q), pour tonte valeur de l'expo- 

 sant Znon divisible par n. On peut donc calculer l'indice de ij/(j3) relative- 

 ment au module (/ et à la base r. C'est sur la considération de cet indice 

 que repose la loi de réciprocité d'ordre n'^"'^ qui existe entre les deux nom- 

 bres premiers p et q. 



» III. Le nombre premier nq' — i =^q est résidu ou non-résidu de n""'"' puis- 

 sance pour le module p, suivant que 'i^ {^) est résidu ou non-résidu de puissance 

 n'""" pour le module q. 



» IV. L'indice i du nombre q, relativement au module p et à ta base t du sys- 

 tème d'indices dans lequel ont été calculés les facteurs complexes R,_a de ^{p), et 

 l'indice j de 4'(/3~' ), relativement au module q et à ta base r, vérifient toujours la 

 congruence j ^ / (mod. ?i). 



n La classe du nombre 2 dans une classification d'ordre n"""^ pour un 

 module premier p = «sr + i est déterminée par les théorèmes suivants : 



)) I. La condition nécessaire et suffisante pour que 2 soit résidu de n"""" puis- 

 sance suivant le module p est que te facteur complexe R, , de p soit de ta forme 



R,,, = 1 -H 2(t'o + C,(5 -+-6\,|5^ -H. .. + C„_, p"-'). 



» II. Le fadeur complexe R,, de p étant calculé par taformule 



R,,, = Vpind.UH-i, ^ ^^ ^ „^ p ^ ^^^^. + . _ . ^ ,,^^_^ p«-. ^ 



tous ces coefficients sont pairs, à l' exceplioii d'un seul qui est impair; soit a,„ ce 

 coefficient impair; la classe du nombre 1 relativement au module p est la racine 



