( 7^7 ) 



» Il est d'ailleurs facile de s'assurer que les formules (4) et (5) subsistent 

 pour toutes les valeurs entières positives ou négatives de n. 



» Appticdtions. — i" L'ellipse est l'antipodaire de sou cercle principal, 

 par rapport à un quelconque des foyers. En faisant dans la formule (4) 

 n = — I, R = rt, on a l'expression du rayon de courbure de l'ellipse 



_ p '?.flsinV — p) 

 ' rtsin'V 



Si II et if désignent les rayons vecteurs du point considéré de l'ellipse, rela- 

 tifs aux deux foyers, on peut écrire 



_ «(2/3 — //] un 



~' rtsinV rtsinV' 



mais, en désignant par b' le demi-diamètre conjugué à celui qui aboutit au 

 point considéré, et appelant N la longueur de la normale comprise entre 

 ce point et Taxe focal, on sait quo 



uv = b-sm\ = jr, N = — ; 

 a 



donc 



E_.=^= ^ 



ab sin'V 

 » Calcul identique pour l'iiyperbole. 



» 2° Si la courbe primitive est une droite, la foruude (4) n'a de sens que 

 pour les valeurs négatives de 7i. 



» En y faisant R infini et « = — //', on trouve 



^^-"'~ °«'sin"'-»-'V" 

 » L'iiypotbèse n' = i donne le rayon de courbure de la parabole : 



R = -21^ = -^ . 

 ' sin'V siii'V 



» 3° Considérons enfin les courbes ayant pour équation 

 (6) ,o'" = rt'"cosm5. 



» D'après un théorème de Maolaurin [Tmilé des fluxions), le cercle 

 osculateur intercepte sur le rayon vecteur une longueur c, donnée par la 

 formule 



c= — i— ; 



