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 M Les normalies qui touchent les nappes de la développée d'une surface sui- 

 vant des courbes conjuguées ont pour directrices : 



» i" Des courbes dont les directions conjuguées font avec as des angles 

 complémentaires, lorsque R, — R. =: const. ; 



» 2° Des courbes dont les directions conjuguées sont perpendiculaires entre 

 elles, lorsque R, -i- Ro = const. ; 



« 3° Des courbes qui sont conjuguées lorsque R, R„ = const. ; 



» 4" Des courbes dont la direction de l'une est sjmélrique de la direction 

 conjuguée de l'autre, lorsque —^ = const. ; 



n 5° Des courbes faisant avec as des angles complémentaires, lorsque 

 ^-^.^consr.; 



•» 6° Des courbes se rencontrant à angle droit, lorsque -^ -t- — = const., etc. 



» Ces théorèmes on leurs réciproques donnent lieu aussi à d'intéressantes 

 conséquences parmi lesquelles : 



« Lorsque, entre les rajons de courbure d'une surface, on a ^ -r- ^ = const., 



Ri R] 



les nappes de la développée de cette surface sont convexes. 



» Ceci s'applique aux surfaces à étendue minima. Ainsi l'hélicoïde 

 gauche à plan directeur a pour développée .une surface qui est hélicoïdale 

 et convexe. 



» Lorsque le produit des rayons de courbure d'une surface est constant, les 

 normalies qui ont pour directrices des lignes as/mptoliques touchent les nappes 

 de la développée de cette surface suivant des lignes asjmptotiques. 



» Cette dernière conséquence constitue un théorème remarquable. 

 M. Ribaucour, dans son intéressante NoteS'ur les développées des surfaces ('), 

 disait que le paraboloïde des huit droites ne permettait pas do traiter cer- 

 tains problèmes où n'entrent que les éléments du second ordre de la déve- 

 loppée d'une surface. 



M On voit, par ce qui précède, avec quelle facilité on résout ces problèmes, 

 en faisant usage des nouvelles propriétés des génératrices de ce parabo- 

 loïde. » 



[') Comptes tendus, 27 mai 1872. 



C.R., 18;;, i"Semej(.<. (T. LXXXIV. .XMa., 122 



