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MÉCANIQUE, — Recherche de la loi que doit suivre une force centrale 

 pour que la trajectoire quelle détermine soit toujours une conique; 

 par M. G. Darbocx. 



« Dans une précédente Communication (p. 760), nous avons obtenu 

 deux lois différentes satisfaisant à toutes les conditions posées. Il nous reste 

 à établir que ces lois sont les seules pour lesquelles la trajectoire soit tou- 

 jours une conique. 



M Soit 



(i) - = acosw -I- è sinw + y/A COS2W + B sin 2 to 4- H 



r 



l'équation de l'une des trajectoires ; a, è, A, B, H sont cinq fonctions incon- 

 nues des trois constantes arbitraires que nous appellerons c, j3, y. L'ex- 

 pression de la force agissant sur le mobile est, comme on l'a vu, 



(2) t~ ^ 2' 



r- [ A cos 2m H-Bsinaw + H)" 



C désignant la constante des aires, ou plus simplement 



^ ■' r' \Acos2B-i-Bsin2w+H/ 



K désignant comme C une fonction inconnue des trois constantes arbi- 

 traires. 



M Cela posé, faisons varier les constantes arbitraires a, j3, y de telle ma- 

 nière que la conique trajectoire passe toujours par un point déterminé 

 {r, m). On aura, en différentiant l'équation (i) dans cette hypothèse, 



/,\ » ■ ^i cos2a>5A -1- sin atd^B -I- ^H 



(4j coswc?a -t- sinwoo + — — - — o. 



2 y/ A cos 2 w -I- Bsinata -I- H 



D'ailleurs, la force devant rester constante pour le même point, on aura 

 dans les mêmes conditions ôF= o, c'est-à-dire 



(5) (AoK-KÔA)cos2u + (Bc?K-R5B)sina« + HÔK-RoH^o, 



et cette relation différentielle doit être vérifiée pour chaque valeur de 

 w, a, |3, Y toutes les fois que l'équation (4) le sera 



» Or cette condition ne peut être remplie que de deux manières dif- 

 férentes : 



« 1" L'équation (5) peut avoir lieu, quel que soit w, c'est-à-dire que 



