( 939) 



MÉCANIQUE. — Sur les lois de Kepler. Solution d'un problème proposé 

 par M. Berlrand. Note de M. IIalphex. 



« En sachant que les planètes décrivent des sections coniques, et sans rien 

 supposer de plus, trouver l'expression des composantes de la force qui tes sol- 

 licite, exprimées en Jonction des coordonnées de son point d'application (M. 



« Tel est le problème dont je donne ici une solution. 



» Lemme. — Si une force, dépendant seulement de la position de son point 

 d'application, fait décrire à ce point, quelles que soient les circonstances initiales^ 

 une trajectoire plane, cette force passe par un point fixe ou est parallèle à une 

 direction fixe. 



» Soient x, j, z les coordonnées du point d'application. Le déter- 

 minant {jc' )■" z" ) des dérivées de ces coordonnées est constamment nul, 

 puisque la trajectoire est plane. Je prends ces dérivées par rapport au 

 temps, et je désigne par X, Y, Z les composantes de la force. J'ai alors 



» Grâce aux équations telles que (i), je transforme le déterminant 

 {x'j"z"') en une fonction quadratique et homogène de x', )\ z', qui doit 

 être identiquement nulle. En égalant à zéro les coefficients des carrés, 

 j'obtiens 



(2) z— — Y-p=0, X-T Z-Y-=:0, Y-. X-.j- = 0. 



^ Oc ûx dy dy ' dt dz 



M Soient S, vî, Ç trois fonctions d'une seule variable, x pour la première, 

 y pour la seconde, z pour la troisième, et soit U une fonction quelconque 

 de x,Y, z. La solution la plus générale du système (a) est 



(3) X = U|, Y = U>;, Z = UÇ. 



» J'égale maintenant à zéro les coefficients des rectangles dans la fonc- 

 tion quadratique ci-dessus. En vertu de (3), les nouvelles équations se ré- 

 duisent à 



dl dr. dt 



-.- = -r = r = const. 



dx (ly dz 



Comptes rendus, p. 678 tlo ce voliiiiie. 



