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 » J'en conclus donc 



Ç = lijc -^ a, V) = ky -+- b, !^ — kz -h c, 



ce qui démontre le lemrne annoncé. 



» Soit maintenant à résoudre le problème suivant : Une force agissant 

 dans un plan, et dépendant seulement de la position de soti point d'application, 

 est telle que la trajectoire de ce point satisfasse toujours à une équation difjé- 

 rentielle donnée : trouver les équations auxquelles satisfont les composantes de 



dj^ y 



cette force. On exprimera les dérivées successives -j~ au moyen de x', j' , 



X, Y et des dérivées partielles de X, Y. On substituera ces expressions 

 dans l'équation donnée. On obtiendra les relations cherchées en exprimant 

 que l'équation ainsi transformée a lieu quelles que soient les valeurs de 

 x', y', z'. Ici il suffira de remarquer que l'on a 



(4) ^-'-' g = A 4- X'"- (x'l^r'l-^"-\x'Y -yx), 



relation dans laquelle A est une fonction entière, ne contenant pas le fac- 

 teur x', et dont le degré en x', j' est inférieur à celui de l'autre partie du 

 second membre. Les symboles de dérivation de cette seconde partie ne 

 s'appliquent, bien entendu, qu'à X et Y. 



» Pour équation différentielle, je prends celle des coniques : 



(5) , e=4o(£)'-45£gg^9(g)'g=o,.). 



Après substitution des valeurs (4), le dénominateur x'^^ est commun aux 

 trois termes de 0. Après suppression de ce dénominateur, la partie du de- 

 gré le plus élevé, dans chacun de ces termes, contient le facteur commun 

 x'^. Ace facteur près cette partie Q s'obtient simplement en remplaçant, 



d"Y I d d \"— 2 



dans chaque terme de 0, ^^ par [x' -y- + j-'y-j [x'Y — j'IL). 



» Je suppose maintenant, suivant le lemme, que la force passe par un 

 point fixe, origine des coordonnées. Il en résulte 



X = U.r, Y = Uj, 



(') Bulletin delà Société mathématique, t. IV, p. 64. 



