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 Par suite, 6 contient le facteur {jc'j — j' x)*. A ce facteur près, 5 s'obtient 



en remplaçant, dans 0, -jz; P^"* (•^' ïï~ "^ J^ 7~) ^" '^^ partie du degré le 



plus élevé en x' s'obtient donc en remplaçant, dans 0, —-^ par ^_^ • 



Comme (5) est l'équation différentielle des coniques, j'en conclus : 



(6) j'=aa: -^b-j-{nix^-+-2njc-hp)-, -— = {inp—n^)[mx--h 2nx -r- p)'^. 



» Donc U est la puissance -f d'un polynôme du second degré en x. 

 Semblablement U est aussi la puissance -^ d'un polynôme du second degré 

 en j. Cette conclusion doit subsister quand on change la direction des axes 

 de coordonnées; on voit donc, sans se préoccuper des autres équations, 

 que U est la puissance -f d'un polynôme V du second degré en x,j'. 



» J'essaye maintenant cette solution. Au moyen de l'intégrale des aires, 

 on obtient, pour la trajectoire, l'équation différentielle 



(7) £-Cu(,-.|)'. 



Pour la conique (6) et d'après la valeur supposée de U, il en résulte 



(8) c^[b{j — ax — b)^ nx ^ p\- — [mp — «- ,3 V = o. 



» L'équation (8) coïncide avec celle de la conique (6) ou bien est une 

 identité. Dans le premier cas, on voit aisément que V doit être homogène 

 en x^j-, sans quoi la conique (8) ne contiendrait qu'une arbitraire. Dans 

 le second cas, V est un carré. On obtient ainsi deux solutions qui peuvent 

 s'énoncer comme il suit, et qui sont les seules : 



» Premièhe solution. — Soit une force passant par un point fixe (origine 

 des coordonnées), proportionnelle à (a distance de ce point au point d'applica- 

 tion^ et en raison inverse de ta puissance 4 d'un polynôme P homogène et du se- 

 cond degré par rapport aux coordonnées du point d'application. Sous l'action 

 de cette force, tout point matériel décrit une conique doublement tangente au 

 cône P = o. 



» Deuxième solution. — Soit une Jorce passant par un point fixe, propor- 

 tionnelle à la distance de ce point fixe au point d'application, et en raisoti in- 

 verse du cube de la distance de ce dernier ù un plan fixe. Sous l'action de cette 

 force, tout point matériel décrit une conique, par rapport à laquelle la polaire 

 du point fixe est dans le plan fixe. 



» L'hypothèse d'une force parallèle à une direction fixe donne lieu à 

 deux solutions analogues, qu'il est inutile de rapporter ici. » 



