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aiÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES. — Formes réduites pratiques du développement 



de Taylov. Note de M. Rocyaux, présentée par M. Ledieu. 



(Renvoi à la Section de Géométrie,) 



« Le développement de Taylor est susceptible de différentes formes ré- 

 duites qui peuvent constituer une méthode générale de recherches dans les 

 Maihématiques appliquées. Quoique en grande partie connues et souvent 

 utilisées par M. Yvon Villarceau dans différents Mémoires, ces formes 

 n'ont encore reçu qu'une bien faible partie des nombreuses applications 

 dont elles sont susceptibles. 



» La première de ces formes est la formule bien connue 



(I) . o[x -\- h) — (f{x) = h'^'ioc -{- ~ 



qui réunit en un terme unique les deux premiers termes de la série ordi- 

 naire de Taylor, et qui n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de la formule 

 plus générale 



(II) ç(^ + /,)_,p(^) = /,^'(^)+Ay''(^)+,..4._^,/'(x+;^), 



qui, avec n termes, tient compte des [ji + i) premiers termes de la série de 

 Taylor. 



)) Ces deux formules, qui, dans le cas d'une seule variable, se vérifient 

 immédiatement, peuvent d'ailleurs s'étendre au cas de plusieurs variables, 

 à l'aide de l'artifice employé pour généraliser la formule de Taylor elle- 

 même. Il suffit, à cet effet, de déduire de l'équation (II) la formule 



(Illj 9(x) ~ ? (o) = a:^'{p) + ^J' {o)+ ...+ -^-^^X [j^)^ 



et d'appliquer le développement qu'elle fournit à la fonction ç {x) définie 



par l'équation 



Ç3 [x) = V[a + hx, h + /x.r,...). 



» En faisant ensuite x — i dans le résultat, on trouve sans difficulté 



F (a -h /^i + /.-,...) -^{a,b) 



(IV) 



+ 



I . 2 . w» . . . /; 



*+A 



