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 forment donc une série déterminée à la façon des séries récurrentes. Or 

 le travail indiqué plus haut fournit justement le terme général d'une série 

 ainsi déterminée. 



» Quelle que soil l'équation différentielle linéaire considérée, la relation 

 du premier degré dont nous venons de parler est de la forme 



>,. 



A 

 I 



//„ étant une fonction de 7z, X» un entier également fonction de //, et A^"' un 

 coefficient fonction de n etdeX*. On a évidemment alors 



n 



r 



I 



et nous montrons dans notre travail que 



le signe 3 s'étendant à tous les systèmes possibles de valeurs des entiers 

 «I, «21 ":!' • iPii P29 l'ii •• ■> qui satisfont aux conditions 



X , + A; + /"3 -^ . . . = 7z — p, 

 /2, = /-, -4-^, », = X>-|- «,_,, 



o</.V<X,„. 



Telle est l'expression générale de U„, c'est-à-dire du coefficient de ^ r-, 



dans le développement cherché. 



)) Dans le cas particulier où l'équation linéaire est à coefficients con- 

 stants, et quel qu'en soit d'ailleurs le second membre, on obtient pour 

 i|i [n, p), et, par suite, pour U„, deux expressions beaucoup plus simples. 

 Alors, en effet, la relation du premier degré devient, à partir d'une cer- 

 taine valeur de n, 



u = H„ -^2p,u„_„ 



n„ désignant une fonction de7J,X un entier constant, et Pa un coefficient 

 (lépcMidaut de /i, mais non pas de // ; et si l'on convient de pos(>r, pour les 

 valeurs précédentes de n, 



U, =:=»,, Uj = J/,-hP,U,, U3 = «3-i-P,U.,-hPsU,, ..., 



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