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» Ll. Les liiangles isopérimètres x Aa ont leur calé Aa tangent à une courbe 

 U"', et leur côté xa de grandeur constante (xa = X') : ce côté enveloppe une 

 courbe de la classe 6 iV, formée de n' courbes de sixième classe ayant chacune 

 une tangente Aa multiple du quatrième ordre. 



» On pose, pour chaque tangente A 5, d'après le théorème XLIX, 



IX, 4 lU 



lU, 2 IX 



6. Donc, etc. 



» LU. Les triangles isopérimètres AS a ont leur sommet ô sur une courbe U"', 

 leur côté Oa. tangent à cette courbe au point 9, et leur côte' Aa de longueur don- 

 née (Aa = X') : le nombre de ces triangles est 2 (a m' -+- n'). 



» En effet, le lieu des points a, pour lesquels on a A5 4- 6a = X — X', 

 est d'ordre 2 {m' + n'), et a deux points d'ordre ?i' aux deux points circu- 

 laires de l'infini. Le cercle de rayon Aa — X' coupe cette courbe en 

 2 ( 2 /7i' H- 2 «') points, dont 2 7z' sont aux deux points circulaires de l'infini. 

 Il y en a 2 {2m' -h 7i') autres qui satisfont à la question. 



)) Le théorème XX du premier paragraphe a été ajourné, en voici l'énoncé: 

 » XX. Les triamjles isopérimètres xaa,, dont les côtés xa,xa,,aa, sont tan- 

 gents à trois courbes U"', U"", U"'", et dont le premier xa est de longueur con- 

 stante (xa = X'), ont leurs sommets x sur une courbe de l'ordre i4 n'n"n"'. 



» D'après l'une des deux lois gfénérales qui font le sujet de ma der- 

 nière Communication (séance du 7 mai), il suffit de démontrer le théo- 

 rème relatif à trois points fixes substitués aux trois courbes, savoir : 



» Les triangles isopérimètres xaa,, dont les côtés xa,xa,,aa, passent par 

 trois points O, O', O", et le premier xa est de longueur constante (xa = X'), ont 

 leurs sommets x sur une courbe du quatorzième ordre, douée d'un point sextuple 

 en O et d'un point quadruple en O'. 



» La démonstration sera une conséquence du lemme suivant : 

 » Lemme. — Il existe, sur une droite fixe B^ huit segments xa, de longueur 

 donnée (xa, = X') tels, que les droites xO, a,0" menées à deux points fixes 

 0,0" se coupent en un point a poin- lequel on ait xa + aa,= const.= X — X'. 



X, 2.4 



«, 4.2 



16. 



Ces t-à dire : Un point .r de L donne lieu à deux points «,; pour cliacun de ces points il 

 Y a quatre points u sur D, pour lesquels on a na -h aa,=^l — V . Un point u étant 

 pris, il y a sur D quatre points a, pour lesquels on a un -\- im, = 1 — V ; chaque 



