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 l'impossibilité qu'il en existe de tels possédant les caractères qu'on leur 

 attribue; je vais démontrer l'erreiu' de cette affirmation, en effectuant pour 

 ainsi dire leur décomposition sous les yeux mêmes du lecteur. 



» Le travail de celte décomposition sera beaucoup abrégé par la con- 

 sidération suivante. Quand le premier terme d'un covariant quelconque est 

 donné, le covariant lui-même est donné; car, en vertu de l'équation dif- 

 férentielle partielle à laquelle chaque covariant satisfait, de ce premier 

 terme découlent tous les autres au moyen d'opérations explicites de diffé- 

 rentiation et d'addition exclusivement. Ainsi, pour prouver qu'un cova- 

 riant donné est la somme d'autres covarianis, il suffit de démontrer que le 

 coefficient du premier terme de l'un est la somme des coefficients des pre- 

 miers termes des autres. 



» Or servons-nous en général du symbole ijk pour désigner le coeffi- 

 cient de oc'' dans un covariant élémentaire dont l'ordre, par rapport aux 

 coefficients d'une forme biquadratique binaire donnée, est / par rapport 

 aux coefficients d'une autre forme semblabley, et dont le degré, relatif aux 

 variables x,j^ est k. 



» Posons 



a, fil), Gc, l^d, e, «, /|/3, 67, /io\ e 



pour les coefficients des deux formes biquadratiques données. 



» Alors, en suivant les prescriptions données par M. Gordan lui-même, 

 on trouvera facilement les valeurs suivantes pour les invariants et cova- 

 riants fondamentaux dont l'existence n'est pas douteuse, c'est-à-dire 



i .1 .1 — nà' — ùb'i -h Sc'p — da., i . i ./j — rty — 2^/3 + ca, 



1 .1.0 = en — f\bâ -+- hcj — l\d[j + eu, 1 . 1 .6 = (7j3 — ba, 



i.o.'i =^^, 



1.2.9. = a[-jD - ^jf + b{rj.i + 2P - ?>f) + ^^(Py - aè) + 2rf(«7 - /3=), 



o.i .4 = «î 



2.1.2 = a(/.'C — cd) — (i{rte -\- 2bd — 3c-) + 3y(ad— bc) — 2Ù{ac — b-). 



« On comprend que dans ce qui précède j'aie réduit chaque expression 

 à sa forine numérique la plus simple. Le signe algébrique est disponible à 

 volonté, et j'ai attribué à chacune le signe le plus commode pour mettre en 

 évidence le rapport numérique qui lie le produit de chaque couple à laformc 

 2.2.6 dite e'/e/He/i/flùe par M. Gordan, dont la valeur (voir Scdmon's tes- 

 sons hiijlicr Jlgcbra, Z' édition, p. 206) est obtenue de la manière sui- 



