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 grés n, n — I, n — 2, ..,, contenant chacun k — i variables, les ordres 

 de ces invariants quant aux coefficients de ces formes étant respectivement 



'^0? '^Ii ^Z^ •■•) ^n- I 1 



nous obtiendrons ainsi une somme de nombres que je nommerai 2S. 



)) Formons le même système d'équations en a', comme plus haut, avec 

 des a, avec la différence d'écrire a' au lieu de >:, et soit S' le nombre des con- 

 trevariants linéaires appartenant au même système de formes qu'aupara- 

 vant, les ordres de ces contrevariants par rapport aux coefficients étant 

 respectivement 



a 



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nous obtiendrons ainsi une seconde somme 2S'; la différence 2S — IS' 

 sera le nombre de covariants du degré i et de l'ordre j pour la forme du 

 71'""^ degré à k variables. 



« 2° Cas des contrevariants. — Écrivons 



in — U — i)y , 



et, avec la nouvelle valeur de cr, trouvons, comme dans le cas précédent, 

 la valeur de2S. De même trouvons 2S', comme auparavant, en nous servant 

 de la nouvelle valeur de cr'.mais avec cette différence que, pour trouver un S' 

 quelconque, il faut calculer le nombre non pas des contrevariants, mais des 

 covariants linéaires des formes correspondantes. 2lS — IS' sera le nombre 

 des contrevariants du degré i et de l'ordre y, Hnéairement indépendants, 

 appartenant à une forme du degré n a k variables. 



)) Pour les invariants, on met y = o, et l'on se sert indifféremment de 

 l'une ou de l'autre méthode, c'est-à-dire on écrit 



17' =:= (7 ^- I ou g' ■-"-■- a - I 



à volonté. 



» Qnand k = 3, c'est-à-dire pour les formes ternaires, on comprend, 

 en formant S', que la distinction entre les covariants et les contrevariants 

 binaires devient superflue, puisque à chaque covariant d'une forme binaire 

 correspond un conlrevariant, et vice versa. 



» Quand A = 2, en se rappelant que pour un système de formes uni- 

 taires simultanées 



chaque combinaison des coefficients est un invariant, et multipliée par x 



