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 un covariant ou contrevariant unitaire, la règle pour trouver le nombre 

 des covariants et des conlrevariants binaires revient à la règle connue. 



» Je passe à présent au cas plus général d'un système de formes 

 n,, 7t.., ..., /?,, à A variables. On clierclie le nombre des covariants et des 

 conlrevariants du degré y et des ordres /,, /\,, . ., i,, quant aux coefficients 

 des formes données. 



» On écrit dans les deu.v cas respectivement 



_ ±:H—x]J-hlin 



G- j ; 



le rapport de 7' à c reste le même, comme auparavant. Au lieu de l'équa- 

 tion (i), on écrit q équations de la forme 



rt„,^ 4- rt,,,/ + rt,,,/ + ... -hrt,,,,^ = /, [r/ = 1,2,3, ...,(/], 



et, au lieu de l'équation (2), on écrit la seule équation 



2;;=,; {(h,! W- 2fl,,y + . . ., -4- n,i a,„^,i) = cr. 



Alors, pour trouver S, on prend un système de formes à A — i variables, 

 une de chaque degré de i jusqu'à «,, encore une de chaque degré de 

 r jusqu'à ti... ..., et finalement luie de chaque degré de i jusqu'à fi,^, et l'on 



trouve pour S le nombre des invariants à k — 1 variables, dont les ordres 

 respectifs, [>ar rapport à ces formes, sont les valeurs desa données pour une 

 solution quelconque des équations écrites plus haut : ainsi l'on obtient 2S; 

 de même, en substituant a' pour c et des contrevariants linéaires (si l'on s'oc- 

 cupe des covariants) ou des covariants linéaires (si l'on s'occupe des con- 

 trevariants), on trouve la valeur de iiS', et la difféi-ence IS -- 2lS' sera le 

 nombre cherché. 



» Ainsi l'on voit que le problème pour des systèmes à k variables se réduit 

 au même problème pour k — 1 variables, de sorte que, par déductions suc- 

 cessives, le problème est complètement résolu par une méthode antimé- 

 lique pour un nombre quelconque de variables. 



» Avec l'aide de ce principe, on peut construire, simplifier et réduire 

 à la forme canonique une fonction génératrice ayant par rapport aux 

 formes ternaires, quaternaires, etc., le même genre de rapport que la 

 fonction génératrice dont, sous la forme caiioni(jue, j'ai déjà donné des 

 exemples pour les formes binaires : c'est de cela que je m'occupe en ce mo- 

 ment; mais ce travail algébrique, quoique d'une nature très-élémentaire, 

 devient, même pour les formes ternaires, extrêmement laborieux, i> 



