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 mitive avec un nombre /; -+- i de variables, dont rime dépendante des 

 autres, et lui nombre p d'équations qui déterminent les arguments des 

 fonctions arbitraires. 



» Par cette méthode on arrive toujours à une seule équation à dérivées 

 partielles d'ini ordre n égal au nombre des fonctions arbitraires. Ce théo- 

 rème n'avait été remarqué que pour le cas de « = i , et j'en avais donné 

 une démonstration pour p = i, et n quelconque, dans les Actes de l'Institut 

 des Sciences de Venise de i845. 



') Je m'étais réservé d'ajouter à ce Mémoire l'exposition d'une autre 

 méthode qui conduit au même résultat, et quelques recherches sur l'in- 

 tégration des équations à dérivées (ou différences) partielles, qu'on peut 

 regarder comme déduites d'un nombre convenable d'équations primitives, 

 par l'élimination du plus grand nombre des fonctions arbitraires. 



» Occupé d'autres travaux qui m'ont empêché de faire connaître ces 

 développements, je dois y suppléer en présentant à l'Académie la dé- 

 monstration des deux théorèmes généraux suivants sur l'élimination des 

 fonctions arbitraires, même dans le cas où les équations données qui 

 déterminent les arguments des fonctions arbitraires sont les dérivées par- 

 tielles, par rapport à ces arguments, d'une même équation primitive. 



» I. Soient, en premier lieu, les p -f- i équations données 



(') /=o, /; = o, /, = o, . . ., f,, = o, 



oùsont comprises «fonctions arbitraires ç),, rp.,, . ., y,,, et leurs arguments 

 a,, a.,, «3, ..., «p, avec les variables indépendantes x, x,, X2, •.., Xp, et 

 la dépendante s. 



» Si l'on désigne par Djcf la somme des termes qui proviennent de la 

 dérivation d'une quelconquey = o des équations (i) par rapport à x, en 

 faisant varier seulement z avec x, et supposant a,, «o, ..., c/.p constantes, et 

 si l'on représente par D^, y la somme des termes provenant de la dérivation 

 dey par rapport à a,„, en y faisant varier avec a,„ lesfonclions arbitraires 9,, 

 (p., ■■•, (p,n qi'i dépendent de «,„ et des autres arguments, on déduit évi- 

 demment par la dérivation J— o, par rapport à chacune des indépen- 

 dantes X, X,, Xn, ..., Xp, 



D,/ -f-D„,/D,«, + DaJ D,a, +...-+- B^J D,«,, = o, 

 D.,/ + D„,/D,,a, + D„.,/D,,a, 4-. .+ D„JD,, a^, = o, 



^-J+ D«.y D.v«' ^- Da,/D,^«, H-...4- D./D.ocp = o. 



