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 l'irrationnelle v, la condition que la valeur de p — qy restera plus petite 

 <pie toute valeur qui résulte de la diminution ou de p, ou de q, ou de p et q 

 simultanément dans cette fonction, tandis que le critérium de Lagrange ne 

 considère que l'effet de la substitution simultanée des nombres inférieurs à 

 p et à q. On remédie à cet inconvénient et en même temps on simplifie la 

 démonstration du théorème dont il est question en donnant un peu plus 

 d'extension à la conclusion nommée A dans la Note précédente. 

 » Dans l'équation (3), c'est-à-dire, 



DA' = ( — 1)''(0 — s6 + r- /es), 



si l'on pose 



s = l -+- i , r = ks + i = kl -+- k -+- i 



(de sorte <\ue p — À, q — \x deviennent simultanément — p', — q' ), on aura 



,ô = (,+ /}5>' i + 9 et e- s Q-(r-ks)<l, 



donc A'- < A 2 , c'est-à-dire que les minima /; — qv, p' — q'y, etc., vont tou- 

 jours en diminuant; mais si, s restant égale à Z + i, r n'est pas prise égale 

 à ks -+■ i , X et p. tous les deux excéderont p -+- p', q + q' respectivement. Tel 

 est donc l'effet des conditions caractéristiques du système/;, q ; pour qu'il 

 soit possible que A' 2 soit moindre que A 3 , (p — X) 2 ne peut pas devenir p' 2 

 sans qu'en même temps (q — p) 2 devienne q' 2 et réciproquement. 



» Conséquemment à la place de ladite conclusion A, on peut substituer 



l'énoncé suivant, c'est-à-dire - étant une réduite quelconque dev,p — qv s'aug- 

 mentera en substituant pour p un nombre quelconque moindre que p' ou pour q 

 un nombre moindre que q', pourvu qu'on ne substitue pas en même temps p' 

 pour p et q' pour q. 



«i Avec cet énoncé, on peut se passer tout à fait de la conclusion B. La 

 preuve que la condition de Lagrange est nécessaire découle et avec surabon- 

 dance de cet énoncé : cela saute aux yeux; et quant à la suffisance ou crité- 

 rium, on n'a qu'à remarquer que si j n'est pas une réduite de v, on peut 

 prendre 



a > Pe, ">Pe^ ; h > 7*i ft 57<+< ' 



et alors 



Pc- 7* v et Pi-'hv-, 



