( 53 ) 

 seront tous les deux <a — bv. De plus, on aura 



p e <a et q e <b, 

 ou bien 



Pi<a et </,<£(*); 



donc, dans tous les c;is, a — bv diminuera quand on diminuera dans une 

 manière convenable a et b simultanément : ce qui démontre la différence 

 du critérium dont il a été question. » 



géométrie. — Considérations générales sur tes courbes en espace; 



par M. A. Cayley. 



« Soit une courbe donnée du m' ime ordre ; je suppose toujours que cette 

 courbe soit une courbe propre, savoir qu'elle n'est pas composée de cour- 

 bes d'ordres inférieurs. Si nous prenons pour sommet d'un cône qui passe 

 par la courbe un point A quelconque qui n'est pas sur la courbe, ce cône 

 sera de l'ordre m; cela est vrai en général quelle que soit la courbe; seule- 

 ment si m est un nombre composé, alors pour de certaines courbes il peut 

 y avoir des positions de A pour lesquelles le cône sera d'un ordre sous- 

 multiple de m; mais en faisant abstraction de ces positions particulières, 

 le cône sera de l'ordre m. Et, cela étant, une droite du cône ne contiendra 

 en général qu'un seul point de la courbe. En employant quatre coordon- 

 nées (x, j, z, w) et en supposant qu'au point A on ait 



X = O, jr=Ci, Z = O, 



l'équation du cône sera U = o, où U est une fonction homogène de 

 [x, y, z) de l'ordre m. On peut faire passer par la courbe une surface avant 

 pour équation 



Q U '-P = o 



(ou w = -)•> où P, Q sont des fonctions homogènes de (x, j , z) des 



ordres p,p — i respectivement. Et ou peut supposer que p soit égal tout 

 au plus à m — i : en effet, en prenant p=m — i, l'équation contiendrait 



( m — i ) m m (m+ r ) 



(*} On n'a pas besoin de dire cjue rien n'empêche que e ne soit égal à/; mais dans ce cas, 

 comme on ne peut pas avoir simultanément a = p e+l b = q s ^ t , la conclusion du texte rest^ 

 'nonne. 



