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 noïde et du cône U == o serait, non pas une courbe quelconque, mais le 

 seul point A; ce qui est absurde. 



« Le cône circonscrit U ^= o ne peut pas être un cône quelconque à 

 moins que p = i ; en effet si /; > i, il est nécessaire que le cône ait au moins 

 ( p — ])/« droites doubles (en comprenant dans cette locution le cas où le 

 cône a des singularités qui équivalent à (/>— i)m droites doubles), car en 

 supposant pour un moment que le cône L 1 = o n'ait pas de singularités, le 

 cône P = o de l'ordre p devrait passer par les (p — \)m droites d'intersec- 

 tion du cône Q == o de l'ordre [p— 1) et du cône U = o de l'ordre m; nr m 

 est au moins égal à Jp-f- i , de manière que le cône P = o doit passer au moins 

 p ar \ p- _ j) droites du cône Q = o; mais p- — i est >/> 2 — />. à moins que 

 p= i ; donc ce cône P==p serait composé du cône Q = o et d'un plan P' = o 

 par le point A; c'est-à-dire P = QP', et l'équation de la monoïde se 

 réduirait à w = P', ou l'on aurait p=-i, ce qui est contraire à l'hypothèse. 

 On obtiendra le même résultat à moins de supposer que le cône Q = o passe 

 par un certain nombre x de droites doubles du cône U = o; mais en fai- 

 sant cette supposition, chacune de ces droites compte pour deux intersec- 

 tions des cônes Q = o, U=o; il y a encore (p — i)m — 2.x droites 

 d'intersection; et les x -+- [p - t m — i x), c'est-à-dire (p—.\).m — x 

 droites peuvent être comprises parmi les p{p — i) droites de la monoïde 

 si x est égal au moins à {p — i) {m— p)\ c'est-à-dire le cône U = o doit 

 avoir au moins ce nombre de droites doubles. Je remarque que pour m 



m -4- i i i n>2 — 2m + i . 



impair, et p = - — » le nombre sera -, ? et pour m pair, et 



p — - on - -t- i, le nombre sera m ~ 2m . : ma is pour toute autre valeur de 



r 2 2 4 



p, le nombre sera moins élevé. 



» Je résume comme suit : 



» Toute courbe du m""" ordre est l'intersection d'un cône circonscrit 

 U = o, du m' é "" ordre, et d'une surface monoïde Qîv— P, de l'ordre 

 p= m — i au plus. L'intersection complète de deux surfaces est composée 

 de la courbe du m' ime ordre et des m(p — i) droites d'intersection du cône 

 circonscrit U = o, et du cône inférieur Q = o de la monoïde. Ces droites 

 seront {p — i) [m — p) -t- « droites, chacune répétée deux fois, et 

 {p — i)(-ip— m) — 2a droites, où « peut être égal à zéro; chacune des 

 [p — i (m — p) + a droites sera une droite double du cône U = o; et les 

 [p — i (m — p) 4- a droites et [p — i) [2p — m) — 2a droites, ensemble 



C. R.. 1862, I er Semestre. (T. L1Y, N" 10 



