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 p(p — i) —a droites seront situées sur le cône supérieur P = o de la mo- 

 noîde. 



» Il y a deux circonstances qui empêchent que cette théorie ne conduise 

 tout de suite à une classification des combes en espace. D'abord, une droite 

 double du côue U = o peut correspondre ou à un point double réel, ou à 

 un point double apparent de la courbe; et de même en supposant que la 

 droite double devienne une droite de rebroussement, cette droite peut on 

 correspondre à un point de rebroussement (point stationnaire) de la courbe, 

 ou la droite peut être une tangente ordinaire de la courbe, sans qu'il y ait 

 sur la courbe aucune singularité qui corresponde à cette droite de rebrous- 

 sement (Voir le Mémoire de M. Salmon : On the classification oj curves oj 

 double eurvalure, Camb. et Dub. Math. Journ., t. V, p. 23-46, i85o). 



» Puis, étant donnée l'équation U = o du cône circonscrit, la rao- 



noïde n'est pas une surface déterminée, et il n'est guère facile de voir quel 



P 

 doit être l'ordre de cette surface. En effet, cette équation étant iv = - 5 



il peut y avoir des fonctions P', Q' telles que PQ' — P' Q = MU, et, cela 



étant, puisqu'il ne s'agit que de l'intersection avec le cône U = o, on pour- 



P P' 



rait remplacer l'équation w = — par celle-ci, w = —,■> laquelle peut être 



d'un ordre inférieur. 



» Ces difficultés se présentent dès le commencement. En effet soit m = 3. 

 On a p = i ou p = 2, mais p = i ne donne que la cubique plane ; je sup- 

 pose donc p = a. Le cône U= o du troisième ordre aura une droite dou- 

 ble, laquelle peut être une droite de rebroussement. L'équation de la mo- 



noide sera u< = —■, où Q = o est l'équation d'un plan qui passe par le 



point double ou de rebroussement, et qui coupe ainsi le cône U = o selon 

 une autre droite; et Q = o est l'équation d'un cône du second ordre qui 

 passe par ces deux droites. Mais soit que le cône U = o ait une droite 

 double, soit que cette droite soit de rebroussement, on n'obtient qu'une 

 seule espèce de courbe cubique; au premier cas le sommet n'est pas situé, 

 au deuxième cas ce sommet est situé sur une tangente de la courbe cubique; 

 voilà toute la différence. 



» Soit encore /// == 4 ; ou peut avoir p = i , a ou 3 ; mais p = i ne donne 

 que les courbes planes du quatrième ordre, je suppose donc/; = 2 ou p = 3; 

 dans l'un ou l'autre cas, le cône U = o du quatrième ordre doit avoir au 

 moins deux droites doubles. Il peut donc y avoir seulement deux droites 



