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voir que les équations S= o, T = o donnent lieu à un assez, grand nombre 



p 

 d'équations de la forme w = — (en représentant deux quelconques de ces 



équations par 



P P' 



on aura toujours FQ' — P'Q = M II), c'est-à-dire on obtient par une telle 



élimination plusieurs surfaces monoïdes dont chacune coupe le cône 



n=UV = o, selon la courbe d'intersection complète de deux surfaces 



S= o, T = o. Mais il ne s'ensuit pas (même en admettant que l'on ait de 



cette manière toutes les surfaces monoïdes qui passent par l'intersection 



complète), que l'on ait toutes les surfaces monoïdes qui passent par la courbe 



du m"" u: ordre: en effet il peut y avoir des fonctions P', Q' lesquelles, sans 



donner PQ - P'Q = MUV, donnent cependant PQ' — P'Q = MU, et, cela 



P' 

 étant, z = — serait une surface monoide qui passerait par la courbe du m""" 



ordre. 



a P. -S. On déduit sans peine la théorie des courbes situées sur une sur- 

 facedu second ordre (Voir ma Note On the curues siluate on a surface ofthe 

 second order, Vhil. Mag.Juli 1861, et les savantes recherchés que M. Chasles 

 vient de publier dans les Comptes rendus ). En effet, en supposant que la 

 monoide soit une surface du second ordre ( hvperboloïde)et que son équa- 

 tion soit iv =—> alors, puisque le cône U=o.,.du m"'""' ordre, doit ren- 

 contrer le plan z = o selon les seules droites x = o, y = o, il faut que ces 

 droites soient des droites multiples du cône =0, et. en prenant p, <y des 

 nombres tels que/>+ <\ = in, on peut supposer que les deux droites soient 

 des droites multiples des ordres p et ij respectivement; et cela arrivera si 

 U (fonction homogène du m'"" ordre en .*', >, z) contient x" pour la plus 

 haute puissance de .r, etj^' pour lapins haute puissance de > . Car en arran- 

 geant selon les puissances descendantes de y, on aura 



u i=ji(x, zy -+- ...r' _ '+ ..., 



ce qui fait voir (pie x = o, z = o sera une droite multiple du //'"' ordre, et 

 de même y = o, z = o sera une droite multiple du q""" ordre. On a donc 

 selon la notation de M. Chasles 



U = M(^,j»), 

 en se souvenant qu'ici U contient aussi le coordonné z. » 



