( *2 9 ) 



analyse mathématique. — Sur une classe nouvelle tf équations différentielles 

 et d'équations aux différericéi finies d'une forme intéarable; par M. Sylvesteii, 



de Wnolwici). 



« Commençons par le cas des différences finies. Représentons par A. t . le 

 déterminant 



r 

 "x "r+l ".r+2 • • ■ "'x-yi—i 



'jt+i "x+2 



Ur 



!, .v+3 "jt+4 



"«+1-1 Ujc+i "jt«+i • • • ".r+2('-î 



et considérons l'équation 



(,) A,= C,..., 



ce qui au fond est aussi général que si nous écrivions A r — Cy*. 



» Je dis que l'équation (i) pourra être satisfaite par la même intégrale 

 que celle qui satisfait à l'équation 



(2) U x — [),"*■+, + Pl"x+2 ■ ■ •(— 1 ">'/>'•-< "•*+'• + (- f )' B *+« — ° 



(p, , Oij, . . .,/',_(, étant des constantes). Car si cette dernière équation a lieu, 



on peut dans la permiere ligne du déterminant substituer à 



It r tl T _.t ... ll v ,f — ■ 



les quantités ( — i)' ' u x+i 



')" 



( - 1 y -1 "* 



sans changer la valeur de ce déterminant. 



» Donc on voit immédiatement que A a . devient égal à A J+ , , c'est-à-dire 

 Aj sera constant; donc l'intégrale de A r = C sera 



(3) 



",-",«, 



«,«, + ■ 



a i a. , 



avec la condition a, a,. . . a,= 1 . Cette condition est une conséquence de la 

 forme du dernier coefficient (— 1/ dans l'équation (2); de plus une autre 

 condition se présente à cause de la valeur spéciale qu'il faut attribuer à la 

 constante C dans l'équation donnée. 



» Pour obtenir cette dernière condition nous pouvons considérer les a et 

 les a. comme étant données et C comme une fonction de ces quantités. Or 

 en faisant un quelconque des a égal à zéro, le degré de l'équation (2) 

 s'abaisse d'une unité, c'est-à-dire les i fonctions u_ v , u x+h . . .,«.,..+,_, seront 

 liées entre elles par une équation linéaire et conséquemment le déterminant 

 A v s'évanouira. Donc C contient le produit a,a 2 . . . rt, comme facteur. Mais 



C. R., îSfii, i cr Semestre, (T. LIV, K° 2.) ' 7 



