(3.8 ) 



» Au nombre de ces surfaces se trouvent quatre cônes (réels ou imagi- 

 naires), ainsi que l'a démontré M. Poncelet (i). Chacun de ces cônes a 

 quatre arêtes tangentes à la courbe; et les quatre points de contact sont 

 dans un même plan. 



» 5. Par sept points on peut mener une infinité de courbes C, non 

 situées toutes sur une même surface. Toutes ces courbes passent par un 

 même huitième point. 



» 4. Huit points par lesquels passent plusieurs courbes du quatrième 

 ordre, situées ou non sur une même surface, jouissent de cette propriété 

 que : deux de ces points étant joints par une corde, et deux autres par une 

 seconde corde, les quatre plans menés par la première corde et les quatre 

 autres points ont le même rapport anharmonique que les quatre plans 

 menés par la seconde corde et les quatre mêmes points. 



» 5. Si autour d'une corde D d'une courbe du quatrième ordre on fait 

 tourner un plan qui rencontre la courbe en deux points a, />, la droite ab 

 qui joint ces points engendre un hyperboloïde. 



» 6. Quatre plans menés par une corde D déterminent dans la courbe 

 quatre autres cordes ab : les plans menés par ces quatre cordes et un point 

 quelconque de la courbe, passent tous quatre par un autre point de la 

 courbe, et conséquemment par une même corde D'. 



» Le rapport anharmonique de ces quatre plans est constant, quel que 

 soit le point de la courbe par lequel on les mène. 



» Cette propriété présente une certaine analogie avec la propriété fon- 

 damentale des sections coniques, d'après laquelle les droites menées de 

 quatre points de la courbe à un cinquième quelconque, ont toujours le 

 même rapport anharmonique. 



» 7. Une droite qui se ment en s'appuyant sur une courbe du qua- 

 trième ordre et sur deux cordes de la courbe, engendre une surface du 

 quatrième ordre sur laquelle ces deux cordes sont des droites doubles. 



» Quand les deux cordes passent par un même point de la courbe, la 

 surface est un cône du troisième ordre. 



» 8. Si de tous les points d'une droite on abaisse des normales sur une 

 surface du second ordre, les pieds de ces normales sont sur une courbe 

 du quatrième ordre. 



» 9. On distingue les surfaces du second ordre en deux classes : les 

 unes peuvent être engendrées par une droite : ce sont l'hyperboloïde à une 



(i) Traité des propriétés projcctives ; p. 395. 



