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 nappe et le paraboloïde hyperbolique; les autres ne peuvent avoir trois 

 points en ligne droite, et conséquemment aucune génératrice droite: ce sont 

 l'ellipsoïde, l'hyperboloide à deux nappes et le paraboloïde elliptique. Ce- 

 pendant, si les droites qu'on peut tracer sur les deux premières surfaces ne 

 sont plus considérées au point de vue de la génération de la surface, on 

 peut ramener toutes les surfaces à un même principe, en disant que : 

 par chaque point d'une surface du second ordre passent, en général, 

 deux droites situées tout entières sur la surface, et que ces droiles sont tou- 

 jours réelles dans l'hyperboloide à une nappe et le paraboloïde hyperbo- 

 lique, et toujours imaginaires dans l'ellipsoïde, l'hyperboloide à deux nappes 

 et le paraboloïde elliptique; qu'enfin les deux droites peuvent être coïnci- 

 dentes, ce qui donne lieu au cône et au cylindre. 



» Quand on considère des courbes tracées sur une surface du second 

 ordre, comme on le fait sur le plan, l'existence des deux droites réelles 

 donne lieu, on le conçoit, à des énoncés plus simples des propositions, 

 et à des propriétés qui n'auraient plus le même énoncé ni même d'ap- 

 plication possible dans le cas des droites imaginaires. Aussi nous allons 

 supposer toujours le cas général des deux droites réelles, c'est-à-dire que 

 la surface du second ordre sur laquelle nous considérerons les courbes 

 du quatrième ordre soit un hyperboloïde. Une partie des propriétés de ces 

 courbes s'appliquera au cas où elles seraient tracées sur une autre surface 

 quelconque ; mais une partie aussi pourra n'être pas susceptible de cette 



généralisation. 



» D'après cela, j'exprimerai parfois le caractère des courbes par les nota- 

 tions M(jc 2 j 2 ), M(x 2 j-)..., qui xn'ont été fort utiles dans la théorie géné- 

 rale des courbes tracées sur l'hyperboloide (voir Comptes Tendus, t. LUI, 

 p. 990; séance du 2 déc. 1861). 



» 10. Par chaque point de l'espace on peut mener, en général, deux 

 cordes d'une courbe du quatrième ordre, c'est-à-dire deux droites s'ap- 

 puyant chacune en deux points de la courbe; car ce sont les deux droites, 

 réelles ou imaginaires, existantes sur la surface du second ordre qu'on 

 peut toujours mener par la courbe et par le point donné. 



» C'est ce qu'on exprime en disant que le cône mené par une courbe 

 gauche C 4 a, en général, deux arêtes doubles ; en d'autres termes, que la 

 perspective d'une courbe gauche du quatrième ordre sur un plan est une courbe 

 du quatrième ordre ayant deux points doubles { 1 ). 



(t ) Voir Aperçu historique, etc., p. 249. 



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