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» il. Quand deux surfaces du second ordre ont un point de contact, 

 leur courbe d'intersection a en ce point un nœud ou point double. 



» Par exemple, la courbe d'intersection d'une surface du second ordre 

 par un cône du second ordre qui a son sommet en un point de la surface, 

 est une C 4 à point double. Les tangentes à la courbe en ce point sont les 

 deux génératrices dn cône contenues dans le plan tangent à la surface. 



» Ces deux droites peuvent être imaginaires ; alors le point double est un 

 point isolé ou conjugué. 



» Si les deux génératrices du cône sont coïncidentes, ce qui a lieu quand 

 le cône est tangent à la surface, le point double de la courbe du quatrième 

 ordre devient un point de rebroussement. 



Points de contact d'une courbe C, avec les génératrices de t hyperboloïde. 



» 12. Une courbe du quatrième ordre décrite sur un hyperboloïde esl 

 tangente à quatre droites d'un même système, par exemple à quatre direc- 

 trices de l'hvperboloïde : 



» i" Par les quatre points de contact et deux points de la courbe situés 

 sur une génératrice, on peut mener une cubique gauebe M{x i y). 



» 2° Par les quatre points de contact et les quatre points de la courbe si- 

 tués sur deux génératrices, on peut faire passer un faisceau de courbes du 

 quatrième ordre. 



" 3° En supposant que les deux génératrices soient infiniment voisines, 

 on en conclut que : 



» Par les quatre points de contact et deux points de la courbe situés sur 

 une génératrice, on peut faire passer un faisceau de courbes du quatrième 

 ordre, toutes tangentes entre elles et à la proposée en ces deux points i . 



(i) Une courbe d'ordre quelconque m, M [xP y 1), donne lieu à des propriétés analogues, 

 qui auraient dû se trouver dans notre communication du 16 décembre i86i; <ti voici 

 l'énoncé : 



Une courbe M(xPyl) tracée sur un hyperboloïde est tangente à 2 p (q — : ) directrices . 



l'ar fcs2p(q — t) points de contact et les p points de la courbe situés sur une même géné- 

 ratrice, on peut mener une courbe d'ordre (m — i ), M (xP yl~' ) ; 



Par les 2 p (q — i) mêmes points et /«2p points de la courbe situés sur deux génératrices 

 quelconques, on peut/aire passer un faisceau de courbes d'ordre m, H'(xryt); 



Enfin, par les •?. p (q — i ) points de contact et les p points situés sur une menu- génératrice, 

 on peut faire passer un faisceau île courbes d'ordre m. M" ( xf i '/). tangentes entre elles ci 

 a la courbe proposée en ces p points. 



